相量法 复数的计算课件

1、第九章,相 量 法,1,学习交流PPT,第九章相量法,教学重点 1.了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。 2.掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆定律。 3. 掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。,教学难点 1掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。 2掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。,2,学习交流PPT,第九章相量法,第一节复数的概念,第二节复数的四则运算,第三节正弦量的复数表示法,第四节复数形式的欧姆定律,第五节复阻抗的连接,本章小结,3,学习交流PPT,第一节复数的概念,一、虚数单位,二、复数的表达式,4,学习交流PPT,5,学

2、习交流PPT,一、虚数单位,图 9-1在复平面上表示复数,参见图 9-1 给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面上定义虚数单位为,6,学习交流PPT,二、复数的表达式,图 9-1在复平面上表示复数,一个复数 Z 有以下四种表达式。,1直角坐标式(代数式),Z = a + jb,式中，a 叫做复数 Z 的实部，b 叫做复数 Z 的虚部。,在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数 A = 3 + j2 在复平面上的表示如图 9-1 所示。,7,学习交流PPT,图 9-1在复平面上表示复数,2三角函数式,在图 9-1

3、 中，复数 Z 与 x 轴的夹角为 ，因此可以写成 Z = a + jb = |Z|(cos jsin),式中 |Z| 叫做复数 Z 的模，又称为 Z 的绝对值，也可用 r 表示， 即, 叫作复数 Z 的辐角，从图 9-1 中可以看出,复数 Z 的实部 a、虚部 b 与模 |Z| 构成一个直角三角形。,8,学习交流PPT,3指数式,利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即 Z =|Z|(cos jsin) =|Z|ej,4极坐标式(相量式),复数的指数式还可以改写成极坐标式，即 Z =|Z|/ 以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其他三种式子。,9,学习交流PP

4、T,【例9-1】将下列复数改写成极坐标式： (1)Z1 = 2；(2) Z2 = j5；(3) Z 3 = j9； (4) Z4 = 10；(5) Z 5 = 3 j4；(6) Z6 = 8 j6 (7) Z7 = 6 j8；(8) Z8 = 8 j6。,(2) Z2 = j5 = 5/90 (j 代表90旋转因子，即将“5”逆时针旋90),(3) Z3 = j9 = 9/90 ( j代表 90 旋转因子，即将“9”作顺 时针旋转90 ),(4) Z4= 10 = 10/180 或10/180 (“”号代表 180 ),(1) Z1= 2 = 2/0 ,解：利用关系式 Z = a + jb =

5、|Z|/ ， ， = arctan，计算如下：,10,学习交流PPT,(5) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1 ,(6) Z6 = 8 j6 = 10/36.9 ,(7) Z7 = 6 + j8 = (6 j8)= ( 10/ 53.1 ) = 10/180 53.1 = 10/126.9 ,(8) Z8 = 8 j6 = (8 + j6 ) = (10/36.9 ) = 10/180 + 36.9 = 10/143.1 。,11,学习交流PPT,解：利用关系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin ) = a + jb 计算：,【例9-2】将下列复数改写成代数式 (直角坐

6、标式)： (1)Z1= 20/53.1 ；(2) Z2 = 10/ 36.9 ； (3) Z3 = 50/120 ；(4) Z4 = 8/ 120 。,(1)Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1 ) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16,(2)Z2 = 10/36.9 = 10(cos36.9 jsin36.9 )= 10(0.8 j0.6) = 8 j6,(3) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120 ) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3,(4)Z4 = 8/ 120 = 8(co

7、s120 jsin120 ) = 8( 0.5 0.866) = 4 j6.928,12,学习交流PPT,【例9-3】将下列复数改写成代数表示式： (1)Z1= /90 ；(2) Z2 = / 90 ；,(2) Z2 =1/ 90 = -j,(1) Z1= 1 /90 = j,解：利用关系式 Z = rcos+jrsin，计算如下：,13,学习交流PPT,【例9-4】将下列复数A=18-j40改写成坐标表示式：,A=44/ 65.8 ,=-65.8 r=44,解：利用关系式 ， 计算如下：,14,学习交流PPT,15,学习交流PPT,第二节复数的四则运算,设 Z1= a + jb =|Z1|/

8、 ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，复数的运算规则为,1加减法 Z1 Z2 = (a c) + j(b d),2乘法 Z1 Z2 = |Z1| |Z2|/ + ,3除法 / ,4乘方 /n,16,学习交流PPT,【例9-3】已知 Z1= 8 j6， Z2 = 3 j4 试求：(1) Z1 Z2；(2) Z1 Z2； (3) Z1 Z2；(4) Z1 / Z2。,解：(1) Z1 + Z2 = (8 j6) + (3 + j4) = 11 j2 = 11.18/10.3,(2) Z1 Z2 = (8 j6) (3 j4) = 5 j10 = 11.18/ 63.4,(3) Z1 Z2

9、= (10/ 36.9) (5/53.1) = 50/16.2,(4) Z1 / Z2 = (10/ 36.9) (5/53.1) = 2/ 90,17,学习交流PPT,第三节正弦量的复数表示法,正弦量可以用复数表示，即可用最大值相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。,正弦电流 i = Imsin( t i)的相量表达式为,I/i,正弦电压 u = Umsin( t u)的相量表达式为,= U/u,18,学习交流PPT,【例9-4】把正弦量 u = 311sin(314t 30) V，i = 4.24sin(31

10、4t 45) A 用相量表示。,解：(1) 正弦电压 u 的有效值为 U = 0.7071 311 = 220 V，初相 u = 30，所以它的相量为,= U/u = 220/30 V,(2) 正弦电流 I 的有效值为 I = 0.7071 4.24 = 3 A，初相 i = 45，所以它的相量为,= I/i = 3/45 A,19,学习交流PPT,解: u = sin( t 37) V，i = 5 sin( t + 60) A。,【例9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达示，设角频率均为 ： (1) =120/37 V ； (2) = 5/60 A 。,20,学习交流PPT,解：首先

11、用复数相量表示正弦量 i1、i2，即,I1= 3/30 A = 3(cos30 + jsin30 ) = 2.598 j1.5 A I2 = 4/60 A = 4(cos60 jsin60 ) = 2 j3.464 A,然后作复数加法： I1 + I2 = 4.598 j1.964 = 5/23.1 A,最后将结果还原成正弦量：i1 i2 =sin( t 23.1 ) A,【例9-6】已知 i1 = sin( t 30 ) A， i2 = 4 sin( t 60 ) A。 试求：i1 i2。,21,学习交流PPT,第四节复数形式的欧姆定律,一、复数形式的欧姆定律,二、电阻、电感和电容的复阻抗,

12、22,学习交流PPT,一、复数形式的欧姆定律,定义复阻抗为|Z|/ 其中 为阻抗大小， = u i 为阻抗角，即电压 u 与电流 i 的相位差。则复数形式的欧姆定律为,图 9-2复数形式的欧姆定律,图 9-2 所示为复数形式的欧姆定律的示意图。,23,学习交流PPT,二、电阻、电感和电容的复阻抗,1电阻 R 的复阻抗,ZR = R = R/ 0,2电感 L 的复阻抗,ZL = XL/ 90 = jXL = jL,3电容 C 的复阻抗,ZC = XC/90 = j XC =,24,学习交流PPT,第五节复阻抗的连接,一、阻抗的串联,二、阻抗的并联,25,学习交流PPT,一、阻抗的串联,图 9-3

13、 阻抗串联电路,如图 9-3 所示阻抗串联电路。,n 个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗,Z = Z1 + Z2 + + Zn,26,学习交流PPT,例如 RLC 串联电路可以等效一只阻抗 Z ，根据 ZR = R， ZL = jXL，ZC = jXC，则,即Z =|Z|/,其中电抗 X = XL XC，阻抗大小为, 为阻抗角，代表路端电压 u 与电流 i 的相位差，即,27,学习交流PPT,【例9-7】 在 RL 串联电路中，已知： R = 3 ，L = 12.7 mH，设外加工频电压 sin(314 t 30) V。 试求：电阻和电感上的电压瞬时值 uR、uL。,解：等效复阻抗 Z = ZR

14、 + ZL = R + jXL = R + jL = 3 + j4 = 5/53.1 ，其中 XL = 4 ，正弦交流电压 u 的相量为 220/30 V。电路中电流相量为,/30 53.1 = 44/23.1 A,28,学习交流PPT,电阻上的电压相量和瞬时值分别为,132/23.1 V,电感上的电压相量和瞬时值分别为,176/90 23.1 = 176/66.9 V,29,学习交流PPT,二、阻抗的并联,阻抗并联电路如图 9-4 所示。,图 9-4阻抗串联电路,30,学习交流PPT,n 只阻抗 Z1、Z2、Zn 并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即,即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻

15、抗的倒数之和。,为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗 Z 的倒数叫做复导纳，用符号 Y 表示，即,导纳 Y 的单位为西门子(S)。于是有 Y = Y1 + Y2 + + Yn 即几只并联导纳的等效导纳 Y 等于所有导纳之和。 欧姆定律的相量形式为,31,学习交流PPT,【例9-8】两个复阻抗分别是 Z1 = (10 j20) ，Z2 = (10 j10) ，并联后接在 的交流电源上，试求：电路中的总电流 I 和它的瞬时值表达式 i 。,解：由 Z1= (10 + j20) 可得,由 Z2 = (10 j10) 可得,即Z1 = 10 + j20 = 22.36/63.4 ， Z2 = 10 j1

16、0 = 14.14/45 ,32,学习交流PPT,由,可得并联后的等效复阻抗为,于是总电流的相量,即 I = 15.6 A。总电流瞬时值表达式为,33,学习交流PPT,本章小结,本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。,一、复数及其运算法则,二、正弦量的复数表示法,三、欧姆定律与复阻抗,34,学习交流PPT,一、复数及其运算法则,1复数的表达式,(1)直角坐标式(代数式)：Z = a + jb,(2) 三角函数式：,(3) 指数式：Z =|Z|ej,(4) 极坐标式(相量式)：Z =|Z|/,35,学习交流PPT,2复数的运算法则,设 Z1 = a + jb = |Z1|/ ，Z2 = c + jd =|Z1|/,(1) 加减法：Z1 Z2 = (a c) j(b d),(2) 乘法：Z1 Z2 = |Z1|/ |Z2|/ = |Z1|Z2|/ ,(3) 除法： / ,(4) 乘方： /n,36,学习交流PPT,二、正弦量的复数表示法,正弦交流电流 i = Imsin( t i) 的相量表达式为,I/i,正弦交流电压 u = Umsin( t u) 的相量表达式为,U/u,37,学习交流PPT,三