《3.4 反证法》课件.ppt

1、3.4 反 证 法课件,1.了解反证法是间接证明的一种重要的方法. 2.理解反证法的思考过程与特点，并会用反证法证明数学问题.,1.本课重点是反证法的思考过程与特点. 2.本课难点是反证法的综合应用.,1.反证法的概念 在证明数学命题时，先假定命题结论的_成立，在这个前 提下，若推出的结果与定义、公理、定理相_，或与命题 中的已知条件相_，或与假定相_，从而说明命题结论 的_不可能成立.由此断定命题的结论成立，这种证明方法 叫反证法.,反面,矛盾,矛盾,矛盾,反面,2.反证法证题的三个步骤 (1)反设作出否定_的假设； (2)推理进行推理，导出_； (3)结论否定_，肯定_.,结论,矛盾,假设

2、,结论,1.用反证法证明命题“若p则q”时，为什么假，q就真？ 提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面错误时，q一定正确. 2.反证法解题的实质是什么？ 提示：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原命题正确.,3.用反证法证明命题“如果ab，那么 ”时，假设的 内容应是_. 【解析】 与 的关系有三种情况： 和 所以“ ”的反设应为“ 或 ”即 “ ”. 答案：,对反证法概念的理解 (1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性. (2)反证法中的“反设”是应用反证

3、法的第一步，也是关键的一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，将直接影响下一步的证明.做好“反设”应正确分清题设和结论,对结论实施正确的否定,对结论否定后，找出其所有的分类情况.,(3)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是： 从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.,用反证法证明否定性命题 【技法点拨】 用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比

4、较具体，适合使用反证法.,【典例训练】 1.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时，正确的反设为_. 2.设 a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1- c)a三个数不可能同时大于 . 【解析】1.恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数)；其二是至少有两个偶数. 答案：a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数,2.解题流程:,反设,推理,结论,【互动探究】将题2改为“x,y,z(0，2)，求证：x(2-y)，y(2-z)，z(2-x)不可能都大于1”该如何证明？ 【解题指南】此类问题的常用方法是考虑问题的反面，即“不都”的反面为“都”，可用反证法来处理.,

5、【证明】假设x(2-y)1且y(2-z)1且z(2-x)1均成立，则 三式相乘有：xyz(2-x)(2-y)(2-z)1 由于0 x2，所以0 x(2-x) 同理0y(2-y)1,0z(2-z)1， 三式相乘得0 xyz(2-x)(2-y)(2-z)1 与矛盾，故假设不成立. x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.,【想一想】求解本题2的关键是什么？另外求解1时常会出现什么错误？ 提示：(1)求解本题2的关键是反设后利用基本不等式推出矛盾，说明假设错误，从而肯定原命题正确. (2)求解本题1时常出现反设为“a,b,c全为奇数”的错误.,【变式训练】设an,bn是公比不相等的两

6、个等比数列，cn=an+bn. 证明：数列cn不是等比数列. 【解题指南】本命题含有“不是”否定词，可考虑采用反证法. 【证明】假设cn为等比数列， 则当n2时，(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1)，故,设an,bn的公比分别为p,q(pq). 因为 所以 所以 因为当pq时， 或 ，与 矛盾，所以 cn不是等比数列.,用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】 巧用反证法证明唯一性命题 (1)当证明结论以“有且只有”，“当且仅当”，“唯一存在”，“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.,(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，

7、否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.,【典例训练】 1.已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个. 2.已知：一点A和平面，求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直.,【证明】1.如图，假设经过直线a且 平行于直线b的平面有两个，分别为 和，在直线a上取点A，过b和A确 定一个平面. 且与,分别交于过点A的直线c，d， 由b，知bc, 同理，bd，故cd.这与c，d相交于点A矛盾， 故假设不成立，原结论成立.,2.根据点A和平面的位置关系，分

8、两种 情况证明. (1)如图1，点A在平面内，假设经过点 A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么 AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面 相交于经过点A的一条直线a. AB平面，AC平面，a，ABa，ACa. 在平面内经过点A有两条直线和直线a垂直，这与平面几何中 “经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线”相矛盾.,(2)如图2，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.,在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面

9、几何中“经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线”相矛盾. 综上，经过一点A只能有平面的一条垂线.,【归纳】证明本题1的关键点及证明本题2易忽视的问题. 提示：(1)证明本题1的关键是对原命题的反设. (2)证明本题2时易把第2种情况漏掉而导致错误.,【变式训练】求证：两条相交直线有且只有一个交点. 【证明】假设结论不成立，令两条相交直线为a和b,即有两种可能：无交点，不只有一个交点. (1)若直线a,b无交点，那么ab或a与b是异面直线与已知矛盾.,(2)若直线a,b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”矛盾. 综上所述，原假

10、设不成立. 故两条相交直线有且只有一个交点. 【误区警示】注意明确反面有几种情况，不要忽略了某种情况.,用反证法证明存在性命题 【技法点拨】 用反证法证明存在性命题的适用类型及常见的“结论词”及“反设词” (1)适用类型：当命题出现“至多”“至少”等形式时，从已知条件直接推证时，解题方向不明确，不易证明，常采用反证法.,(2)常见的“结论词”与“反设词”,【典例训练】 1.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是_. 2.(2012枣庄高二检测)已知a,b,c均为实数，且a=x2- 求证：a,b,c中至少有一个大于0. 【解析】1.该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个. 答

11、案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”,2.假设a,b,c都不大于0，即a0,b0，c0，得a+b+c0. 又 =x2-2x+1+y2-2y+1+z2-2z+1+-3 =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-30. 即a+b+c0与a+b+c0矛盾，假设不成立， 即a,b,c中至少有一个大于0.,【归纳】解答本题2的关键点及本题1易忽视的问题. 提示：(1)解答本题2的关键是正确地反设，反设后结合完全平方式得到矛盾. (2)解答本题1时易忽视对某一部分的反设而致错.,【变式训练】若x0,y0,且x+y2,求证： 与 中至 少有一个小于2. 【解题指南】结论中有词语“至少”，宜采用反

12、证法，注意 “至少有一个”的否定形式为“一个也没有”.,【证明】假设 与 都大于等于2，即 因为x0,y0，所以1+y2x,1+x2y.+得2+x+y2x+2y,所以x+y2,这与已知条件x+y2矛盾，所以假 设不成立，所以 与 中至少有一个小于2.,【规范解答】反证法在实际问题中的应用 【典例】(12分)已知： 且sin(+)=2sin，求证：.,【解题指导】,【规范解答】用反证法证明该题. 假设=.(且均为锐角)，2分 由sin(+)=2sin得， sincos+cossin=2sin， 2sincos=2sin， 3分 cos=1. 这与(0， )相矛盾，故. 5分 假设.7分 sinc

13、os+cossin=2sin，,cossin=sin(2-cos)， 即 .9分 由 0,得sinsin0, 10分 又0coscos1，2-cos1, 故 不成立，故. 11分 因为且,. 综上. 12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)已知x,yR，且x2+y2=0，求证：x,y全为 零. 【解题设问】(1)本题用什么方法证明较简单？_. (2)本题用反证法证明需注意什么？_的反设.,反证法,注意x,y全为零,【规范答题】假设x,y不全为零，则有以下三种可能： (1)x=0,y0，得x2+y2=y20

14、,与x2+y2=0矛盾；4分 (2)x0,y=0,得x2+y2=x20，与x2+y2=0矛盾；7分 (3)x0,y0，得x2+y20与x2+y2=0矛盾. 10分 综上，假设不成立，故x,y全为零.12分,1.用反证法证明命题“a,bN，如果ab可被5整除，那么a,b至 少有1个能被5整除”，则假设的内容是( ) (A)a,b都能被5整除 (B)a,b都不能被5整除 (C)a不能被5整除 (D)a,b有1个不能被5整除 【解析】选B.用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“一个也没有”，故选B.,2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是( ) (A)假设三内角都不大于60 (B)假设三内角都大于60 (C)假设三内角至多有一个大于60 (D)假设三内角至多有两个大于60 【解析】选B.“至少有一个不”对立面是“都”故反设正确的是B.,3.两直线a与b异面的否定为_. 【解析】两直线a与b的位置关系共有a与b异面、相交、平行，故a与b异面的否定为a与b相交或平行. 答案：a与b相交或平行,4.用反证法证明命题“x2-(a+