2019_2020学年九年级数学下册第2章圆2.3垂径定理教学课件（新版）湘教版.pptx

1、教学课件,数学 九年级下册 湘教版,第2章 圆 2.3 垂径定理（1）,回顾导入,1、什么叫轴对称图形？,2、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径（过圆心的直线）。,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E,你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,CD为O的直径CDAB,条件,结论,AE=BE,垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的

2、两条弧。,应用垂径定理的书写步骤, CD是直径,CDAB,AM=BM,是否符合垂径定理的条件，主要看两点：一是直径； 二是要与弦垂直。,注意几个基本图形：(1)、(2)、(3)、(4),在下列图形，符合垂径定理的条件吗？,例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,解：连结OA,由勾股定理得：,圆心到弦的距离、半径、弦的一半构成直角 三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,18.7,R-7.2,R,解决“赵州桥”问题：,如图，OA=OC=R， OD=OC-CD=R-7.2 AB=18.7,AD2+OD2=OA2,即：18.72+(R-7.2)2=R2

3、,R27.9(m),答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,3、已知：如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD.,AE=BE，CE=DE,AE-CE=BE-DE,AC=BD,4、已知O的半径为13cm，该圆的弦ABCD，且AB=10cm，CD=24cm，求弦AB和弦CD之间的距离。,ABCD,在RtOCE中，OE=5cm,在RtOAF中，OF=12cm,EF=OF-OE=7cm,弦AB、CD在圆心两侧时，EF=OE+OF=17cm,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。,2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为

4、3cm，则弦AB的长是 。,8cm,3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。,4.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为.,13cm,巩固练习,6、如图，AB是O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则O的半径等于 cm。,7、已知，M是O内一点，已知过点M的 O最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm， 则OM=_ cm.,7,3,5、如图，ACBO，AC=8cm，BA=5cm， 则O的半径为 ，AC的弦心距为 。,9、求证：同圆中，两平行弦所夹得弧相等。,8、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面

5、如图所示。若油面宽AB600毫米，求油的最大深度。,课堂小结,请围绕以下两个方面小结本节课：,1、从知识上学习了什么？,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。,2、从方法上学习了什么？,（1）垂径定理是圆中一个重要的结论,叙述语言要准确,一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得 平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。,（2) 垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等 问题的方法，构造直角三角形,（3）解决有关弦的问题时，经常 连结半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径 定理创造条件。,第2章 圆 2.3 垂径定理（2）,垂径定理,垂直于弦的直径平

6、分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,回顾导入,探究一、AB是O的一条弦（非直径），且AM=BM，过点M作 直径CD.,你发现图中有哪些等量关系?说说你的想法和理由.,CDAB,由 CD是直径, AM=BM,A,B,D,C,（E）,（不是直径）,连接OA,OB,则OA=OB.,OAMOBM.,AMO= BMO.,CDAB,O关于直径CD对称,探究二：AB是O的一条弦,且AM=BM。且CDAB 于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？ 为什么？,CDAB于M, CD是直径, AM=BM,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4

7、）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,找到本质：,1、判断正误：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这条直线垂直这条弦。,（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,2.已知A、B、C是O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为 3厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。,3.如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AECD于E，BFCD于F，且圆O的半径为10，CD=16

8、，求AE-BF的长。,OD=3 OB=5,BD=4,AD=8,解：连结OC，过点O作OMCD于M， 则CM=MDCD=16，CM=8， 在RtOMC中，因OC=10OM=6,AECD，BFCD，OMCD，AEOMBF,AE-BF=2OM=12,4 . 如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？,如图，将问题转化为数学问题。,AB=7.2，CD=2.4,由垂径定理：AD=3.6,HN=1.5,设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4,在RtOAD中，由勾股定理，得: r3.9（m

9、）, DH=OH-OD=3.6-1.5=2.12,此货船能顺利通过这座拱桥.,1、判断： (1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的 两条弧. （ ） (2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. （ ） (3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） (4)圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. (5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）,2.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD, 直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: . .,AE=EB,CF=FD,3、如图，点P是半径为5cm的O内一点，且OP=3c

10、m, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 B、3条 C、4条 D、5条,C,4、如图，O的直径为10，弦AB=8, P为AB上的一个动点，那么OP长 的取值范围是 。,3cmOP5cm,5、如图，点A、B是O上两点，AB=8, 点P是O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OEAP于E, OFBP于F，EF= 。,4,10,8,6、已知O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。,8、如图，CD为圆O的直径，弦AB交 CD于E， CEB=30，DE=9， CE=3

11、，求弦AB的长。,DE=2cm,8cm,APC=COF=60,由条件：DC=12，OC=6，OE=OC-EC=3, CEB=30= FEO OF=1.5,9.如图,圆O与矩形ABCD交 于E、F、G、H,EF=10， HG=6，AH=4，求BE的长.,10、如图，在O中，AB为O的弦， C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形。,11、已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD，求证：ECDF,BE=2,作OECD，AE=BE,ACBD,CE=BE,OCEODE.,OC=OD,作OMCD，AECD，BFCD,AEOMBF,OA=OB，EM=MF,CM=MD，EC=DF,1、垂径定理及推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备,（1）过圆心 （