收敛原理与数项级数

1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第十章,101 柯西收敛原理与数项级数的概念,1.柯西收敛原理,定理 1（柯西收敛原理）,满足定理1条件的序列称为柯西序列.,柯西收敛原理给出了由序列本身性态判断序列是否收敛的一个重要方法.,2.数项级数及其收敛性的概念,形如,的式子称为常数项无穷级数。,定义 对于给定级数,，我们把级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,则称无穷级数,收敛 ,并称 S 为级数的和,记作,则称无穷级数发散 .,例1. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解 1) 若,从而,因此级

2、数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,例2 判别下列级数的敛散性:,解 (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,由级数可以得出级数的部分和，反之，也可以由级数的部分和确定级数。,定理3 （级数收敛的必要条件）,设收敛级数,则必有,证,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,

3、其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,（后面将证明此调和级数发散 .）,柯西收敛原理给出了级数收敛的充分必要条件。,定理4（级数收敛的柯西准则）,证明,考查 调和级数,的收敛性.,这个级数的通项趋于零，满足收敛的必要条件，因而不能立即断定它收敛或发散 .根据柯西收敛原理，我们应该考虑形如,显然，不论n多大，只要取,P足够大(即取项数足够多),上述形式的和就不趋于零 。比如，任意取定n后，取p=n,那么,这就表明调和级数是发散的.,的和当 时是否趋于零，,这就证明了这个级数是收敛的.,调和级数 是发散的,而 是收敛的

4、.从直观上 可以这样理解：两者的通项虽然都趋于零，但前者通项 趋于零的速度较慢，从而导致部分和不收敛；而后者通 项趋于零的速度较快，保证了部分和收敛.一般说来，通 项趋于零的速度达到一定程度，就能保证级数的收敛性.,也收敛,且其和为,证明,3.收敛级数的性质,证明,(3) 设有两级数,且有自然数 N，满足,则两级数有相同的敛散性。,证明可由级数收敛的柯西准则得出。,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,（4）收敛级数任意加括号后形成的新级数仍然收 敛于原来的和.,证明 设有收敛级数 S=u1+u2+u3+.+un+.,由此知:若加括号后形成的新级数发散,则原级数也发散.,设任意加括号后所成的新级数为,用m表示这个级数的前m项(共有m个括号)之和,用Sn 表,示相应于m的原级数中共有n项之和,即,例如级数 （1-1）+（1+1）+ 收敛于零，但级数 1-1 + 1-1 + 却是发散的 根据性质4可得如下结论：,如果 加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散.,注意:如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛。,性质(4)表明:有限个项加法的结合律,对于收敛级,数是成立的。但应注意,对于发散级数不成立,例如发散级数,1-1+1-1+.+(-1)n-1+