向量法求线面角二面角

1、利用空间向量解立体几何问题1 .线面垂直别解：本问题也可以证明向量A1C与平面DBE的法向量平行11.(2009安徽卷理)如该图所示，四角锥F-ABCD的底面ABCD为菱形，其对折角线AC=2、BD=、AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1、CF=2。(I )求出二面角B-AF-D的大小(矢量法)以a为坐标原点，方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，制作空间直角坐标系(图)。如果取平面ABF的法向量令、得同样，可以获得平面ADF的法向量。平面ABF垂直于平面ADF二面角B-AF-D的大小相等。14.(2009江西卷文)如图所示，在四角锥中，底面以矩形、平面、中点为球心的直径的球面与点相交.(1

2、)求证：平面平面(2)求直线与平面所成的角(3)求出从点到平面的距离解：方法(1) :(1)证明：根据问题，如果m位于以BD为直径的球面上，则为BMPD。如果是PA平面ABCD的话，就是PAAB、还有ABAD，由于在AB平面PAD上是ABPD，所以有PD平面ABM，是平面ABM平面PCD。(2)当平面ABM和PC与点n相交时，由于ABCD，因此AB平面PCD成为ABMNCD，由(1)可知，如果是PD平面ABM，则MN是PN向平面ABM的投影，与平面所成的角然后求得的角度是(3)由于o是BD的中点，所以从o点到平面ABM的距离等于从d点到平面ABM的距离的一半，由(1)可知，如果PD平面ABM为

3、m，则|DM|是从d点到平面ABM的距离。对于RtPAD，由于、所以是中点，从o点到平面ABM的距离相等。方法2 :(1)同方法1如(2)图所示，当制作空间直角坐标系时，平面的法向量为一个，可以得到：令，即.求的角为求的角的大小是。(3)求出的距离由、得：25.(2009全国卷I文)(本小题满分12分)(注决定：问题卷上的回答无效)如图所示，在四角锥中，底面为矩形、底面、点在侧棱上。(I )证明：侧棱的中点求二面角的大小。 (同样的18 )(I )如设定为，从问题中得出也就是说我能解方程式所以侧棱的中点。法2 :如果设定的话又所以，也就是说可以解开所以侧棱的中点。(ii )由(I )获得，此外

4、，分别为平面、的法向量时而且，也就是说分别订购，即，大小尺二面角线与面所成的角度1 .线面角：将一个平面的斜线与向该平面内的投影所成的角称为斜线与该平面所成的角(斜线与平面所成的角) .如果直线与平面垂直，则直线与平面所成的角度为垂直角如果直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角为零度角直线与平面所成的角的可取值的范围是，斜线与平面所成的角的可取值的范围是。4 .二面角：二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形称为二面角，其中直线、半平面分别称为二面角的棱面，一个平面垂直于二面角的棱，与两个半平面的交线分别为放射性射线，下垂时称为二面角的平面角(1)定义法(垂直面法):形成越过以

5、二面角内的一点为棱的垂直面，求出垂直面与两个半平面的交线的平面角.(2)等价定义法：在二面角棱上取点(中点等特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面镜角(3)三垂线法：先作出从二面角一面内的一点到另一面的垂线，用三垂线定理或逆定理作成平面角(4)投影范围法：在利用了面积的投影式中，其特征在于，是平面角的大小，不需要描绘平面角，也不需要找到棱，特别适合于不描绘棱的二面角的问题.(3)法向量法：制作空间直角坐标系后，分别求出2个平面的法向量，用公式求出平面角或其补角的佟弦值，再数形结合决定二面角的大小1 .在立方形中求出二面角A1-BD-C1的大小45异面直线成角(1)异面直线、所成的角：

6、在空间中取任意的点o，越过点o分别画，所成的锐角(或垂直角)称为两条异面直线所成的角。 两个不同面的直线所成的角范围如下。求法：将两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有升交点，通过这个升交点在平面内作第一个线面平行，这两条直线所成的角就是两条异面直线所成的角。 通过求解三角形得到运用矢量：在直线上取2点a、b，在直线上取2点c、d，如果与直线所成的角度为。根据例3、图可知，四角锥的P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形、ABDC、ACBD、AC和BD与点o相交，且向顶点p的底面的投影正好为o点，另外，BO=2、PO=.解法1 :平面，还有从平面几何的知识中获得(I )如果交叉、连接

7、，或其补角为与异面直线所成的角四边形是等腰梯形、另外，四边形是平行四边形。是的，中点，还有垂直角三角形那么，从侑弦定理得出与异面直线PD所成角的侑弦值解法2 :平面，也可从平面几何知识中得到作为原点，如果分别对轴制作如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为、(I )、 与所成的角为。 成直线的角的侑弦值是(2)直线与平面所成的角：斜线与平面所成的角是斜线与向该平面内的投影所成的锐角。直线与平面所成的角度范围如下。求方法：求斜线与平面所成角度的关键是，找到斜线在平面内的投影，即确定斜线上的一点在平面上引垂线的脚丫子。 此时，确定脚丫子总是垂直于平面的位置。 如果难以决定下垂脚丫子的位置，可以考虑

8、用三棱锥体积等的量求出斜线上的一点到平面的距离。运用矢量：平面的法向量，a、b为直线上的点，如果直线与平面所成的角为。如图所示，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC、ACBC、d是AB的中点，且AC=BC=、VDC=。 当角度变化时，求出直线BC与平面VAB所成的角度的可取值的范围解： (I )将存在的直线分别作为轴、轴、轴，制作如图所示的空间直角坐标系时ad乙cv型xyz将直线与平面所成的角设为平面的法向量时得到好的，再见另外，也就是说，直线与平面所成的角的可取值的范围(3)二面角：从一条直线出发的由两个半平面组成的几何图形称为二面角。 二面角的范围是。求出二面角的大小：找到二面角的平面角，用解三角形求出。 利用面积投影定理。使用矢量：从相交棱线上的一点(或两点)查找与相交棱方向矢量垂直的两个矢量，这两个矢量所成的角的大小与二面角的大小相等。a乙cdeA1B1一级方程式如例5(06年全国ii )图所示，在直三角柱中，AB=BC、d、