初二数学讲义：判定平行四边形的五种方法

1、初二数学讲义判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、 两组对边分别平行如图1，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CFAFBDCE图1(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证BDEFEC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACD=60CD=CE，

2、BD=AE，EDC是等边三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120又EF=AE，BD=FE，BDEFEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60ABDF，BDAF四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F(1)求证：BCGDCE； (2)将DCE

3、绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有ABDC，又通过旋转CE=AE已知CE=CG，所以EA=CG，这样就有BE=GD，可证EBGD是平行四边形。解：（1）ABCD是正方形，BCD=DCE=90又CG=CE，BCGDCE（2）DCE绕D顺时针旋转90得到DAE，CE=AE，CE=CG，CG=AE，四边形ABCD是正方形BEDG，AB=CDAB-AE=CD-CG，即BE=DG四边形DEBG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、 两组对边分别相等例3 如图3所示，

4、在ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边ABD，等边ACE，等边BCF。求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。解：ABD和FBC都是等边三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60DBF=ABC又BD=BA，BF=BC ABCDBFAC=DF=AE 同理ABCEFCAB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、 对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AEBD于E

5、，BFAC于F，CGBD于G，DHAC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。图4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。证明：AEBD，CGBD，AEO=CGO，AOE=COG，OA=OCAOECOG，OE=OG同理BOFDOHOF=OH四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、 两组对角相等例5 将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起 四边形ABCD是平行四边形吗？理由 。(1)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移

6、到RtB1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：ABC=ABD+DBC=30+90=120，ADC=ADB+CDB=90+30=120又A=60，C=60，ABC=ADC，A=C（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将RtBCD沿射线方向平移到RtB1C1D1的位置时，有RtC1BB1RtADD1C1BB1=AD1D，BC1B1=DAD1有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1，BC1D1=BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB所以四边形ABC1