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关于有心圆锥曲线的“垂径定理”;定义:.圆、椭圆、双曲线都有对称中心,统称为有心圆锥曲线,它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线:定理:“已知直线与曲线:交于两点,的中点为,若直线和(为坐标原点)的斜率都存在,则”,这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.例1:证明有心圆锥曲线的“垂径定理”;证明 设相减得 注意到 有 即 例2:利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题: 过点作直线与椭圆交于两点,求的中点的轨迹的方程; 过点作直线与有心圆锥曲线交于两点,是否存在这样的直线使点为线段的中点?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.解:设 由垂径定理,即 化简得 当与轴平行时,的坐标也满足方程.故所求的中点的轨迹的方程为; 假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点,且P为的中点,则 由于 直线,即,代入曲线的方程得 即 由 得.故当时,存在这样的直线,其直线方程为;当错误!不能通过编辑域代码创建对象。时,这样的直线不存在.
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