7多元函数微分法及其应用.ppt

1、第7章 多元函数微分法及其应用 一、内容提要 （一）主要定义,1二元函数的极限,设函数z= f (x, y)在点P0(x0, y0)的附近有定义(点P0可除外), 点P0的任一个邻域内都有使z有定义的点P(x, y)异于P0, 当点P以任意方式趋近于P0时, 函数f (x, y)相应地趋于一个确定的常数A, 则称A为f (x, y)当xx0, yy0时的极限, 记作,2二元函数在一点连续,设函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某领域内有定义,在点P0处连续.,则称函数z=f (x, y),为f (x, y)在P0处对y的偏导数. 分别记作,3偏导数,设函数z=f (x, y)

2、在点P0(x0, y0)的某邻域内有定义,如果极限,存在, 则称此极限为z=f (x, y)在点P0处对x的偏导数,称极限,4全微分,可表示为z=Ax+By+o(), 其中A, B不依赖于x, y,则称z=f (x, y)在点(x, y)处可微.,此时表达式 Ax+By叫做z=f (x, y)在点(x0, y0)处的,全微分, 记作dz, 即dz=Ax+By或dz= Adx+Bdy.,可以证明dz=fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy.,z=f (x0+x, y0+ y) - f (x0, y0),如果函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)处的全增量,5. 方向导数

3、,设z=f (x, y)在包含P(x, y), P(x+x, y+y)的邻域内,有定义, l =(x, y), 则f (x, y)在P(x, y)处沿l方向的方向,导数定义为,类似地可以定义空间上的方向导数为,6. 梯度(gradient),设函数z=f (x, y)在点P(x, y)的某邻域内有连续的,一阶偏导数, 则向量,称为z=f (x, y)在点P(x, y)处的梯度, 记作gradf(x, y),即,（二）主要结论,1. 可微与可偏导的关系,函数z=f (x, y)在点P0(x0, y0)处可微, 则必可偏导,即fx(x0, y0), fy(x0, y0)存在, 反之不真. 特别地,

4、 即使fx(x0, y0), fy(x0, y0)存在, 函数z=f (x, y)在点P0(x0, y0)处也不一定连续, 当然也不一定可微.,2. 多元复合函数求导法则,(1)如果u=u(x, y), v=v(x, y)在点(x, y)处有偏导数, z=f (u, v)在点(u, v)处有连续偏导数, 则z=f u(x, y), v(x, y)在点P(x, y)处也有关于x或y的偏导数, 则,在相应的条件下, 还有下列求导公式:,(2)若z=f (u, v, w), u=u(x, y), v=v(x, y), w=w(x, y), 则,(3)若z=f (u, x, y), u = u(x,

5、y), 则,(4)若z=f (u, v, w), u=u(t), v=v(t), w=w(t), 则,(1)设y=y(x)是由方程F(x, y)=0所确定的隐函数.,3. 隐函数的求导公式,且二元函数F(x, y)有连续的偏导数, Fy(x, y) 0, 则,三元函数F(x, y, z)有连续的偏导数, 且Fz(x, y, z)0, 则,(2)设z=z(x, y)是由方程F(x, y, z)=0所确定的隐函数,函数z=z(x, y)(或u=f (x, y, z)在其可微点处沿任何,(3)方向导数的计算公式,方向l 的方向导数都存在, 且有下列计算公式,空间为,其中, 为l与x轴和y轴正向的夹角

6、; , , , 为,方向l 的方向角.,（三）结论补充,处全微分存在.,在P0(x0, y0)点连续, 则z=f (x, y)在P0(x0, y0),2. 在P0(x0, y0)处,连续, 则二者相等.,二阶连续偏导数, 又fx(x0, y0)=fy(x0, y0)= 0.,3. z=f (x, y)在P0(x0, y0)某邻域内连续, 且有一阶及,记u(x, y)=fxx fyy-fxy2, 则,u(P0)= 0时不能断定.,u(P0) 0, fxx(P0) 0时取极大值;,u(P0) 0, fxx(P0) 0时取极小值；,u(P0) 0时不取极值；,4. 可微函数z=f (x, y)在可微

7、函数(x, y)=0条件下,取极值的必要条件是, 令F(x, y)=f (x, y)+(x, y), 满足,5. 曲线,在P0(x0, y0, z0)处的切线方程和,法平面方程分别为：,6. 曲面F(x, y, z)=0在P0(x0, y0, z0)处的切平面方程,和法线方程分别为：,曲面z=f (x, y)在点M0(x0, y0, z0)处切平面上z坐标的,7. 全微分的几何意义,增量就是全微分.,注 切平面z-z0=fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0),记x=x-x0, y= y-y0, 则全微分dz=fx(x0, y0)x+fy(x0, y0)y,8. 由两

8、空间曲面决定的空间曲线,9. 记e=cos i+cos j, , 为l的方向角, 则,10. 设u, v都是x, y, z的函数, u, v具有各连续偏导数,f 可导, 则有,(2) grad (uv) = vgradu + ugradv；,(1) grad (u+cv) = gradu + cgradv；,二、归类解析 （一）求导运算,1. 分段函数,例7-1 设,例7-2 试讨论f (x, y)在(0, 0)处的连续性与偏导数存在性,点(0, 0)处的连续性. 偏导数存在性及函数的可微性.,试讨论f (x, y)在,例7-3 设,例7-4,试求fxy(0, 0)和fyx(0, 0).,证明

9、: f (0, 0)在(0, 0)处偏导数不连续但可微分.,2. 复合函数,例7-5 z=f(x2-y2, xy), 求,已知f (u, v)二阶偏导数连续.,例7-6 设,f与g都具有连续二阶,偏导数, 求,例7-7 设w=f (u)二阶可导, 且,例7-8 设函数f(,)具有二阶连续偏导数, 且满足,拉普拉斯方程,试证: 函数z=f(x2-y2, 2xy),也满足拉普拉斯方程,3. 隐函数,例7-9 设z=z(x, y)由方程,所确定, 且F(u, v)具有连续偏导数, 则,例7-10 设x2+2y2+3z2+xy z=0, 当x=1, y=-2, z=1时,例7-11 z=x2 + y2

10、中y=y(x)由方程x2-xy+y2 = 1定义,例7-12 设,确定y与z为x的函数,4. 全微分与全导数,例7-13,例7-14,例7-15 设,试讨论f (x, y)在点M0(0, 0)处的可微性及偏导数的连续性.,例7-16,（二）几何应用,1. 空间曲线的切线与法平面,例7-17 求曲线,在t=0处的切线方程和法平面方程.,例7-18 求曲线,在点P(-2, 1, 6)的切线方程和法平面方程.,例7-19 求曲线,在点P(1, 1, 1)的切线方程和法平面方程.,例7-20 试证螺旋线x=acost, y=asint, z=bt (a0, b0),上任一点的切线与z轴成定角.,2.

11、空间曲线的切平面和法线,例7-21 在椭圆抛物面,例7-22 在椭球面,标轴正半轴为相等线段的切平面.,例7-23 证明曲面xyz=a3的切平面与三坐标面围成的,上求一点P, 使,过点P的切平面与平面2x+y+z=0平行, 并求过P点的切平,面与法线.,上, 求一个截取各坐,四面体的体积为一定常数.,3. 方向导数与梯度,例7-24 求函数u=x+y+z在点M0(0, 0, 1)处沿球面,例7-25 设有数量场,(x2+y2+z20)沿矢径方向的方向导数最大？,例7-26 求函数,在点P(1, 1, 1),处的梯度, 并求梯度的大小和方向余弦.,x2+ y2+ z2 =1的外法线方向的方向导数

12、.,问a, b, c, 满足什么条件时才能使u(x, y, z), P(x, y, z)处,4. 极值与最值,例7-27 求由方程x2+y2+z2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0所,确定的变量x与y的隐函数z的极值.,例7-28 平面,截三轴于,A, B, C. P(x,y,z)为ABC上一点, 以OP为对角线, 以三,个坐标面为三面作一个长方体, 试求其最大体积.,例7-29 求内接于椭球面,的体积最大,的长方体.,例7-30 在椭圆x2+4y2=4上求一点, 使其到直线,2x+3y-6=0的距离最短.,例7-31 求二元函数z=f (x, y)=x2y(4-x-y) 在直线,x+y=

13、6, x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大与最小值.,例7-32 设有一小山, 取它的底面所在的平面为,xOy坐标面, 其底部所占的区域为D=(x, y)x2+y2-xy75.,小山的高度函数为h(x, y)=75 -x2-y2+xy.,(1)M(x0, y0)为区域D上一点, 问h(x, y)在该点沿平面,上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大,值为g(x0, y0), 试写出g(x0, y0)的表达式.,(2)现欲利用此小山开展攀岩活动, 需要在山脚寻找,一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 也就是说, 要在,D的边界曲线x2+y2-xy=75上找出使(1)中的g(x, y)达到,最大

14、值的点. 试确定攀登起点的位置.,(一)、填空题（3分4=12分）,则f (x, y)=,3. 设f (x, y, z)=exyz, 则,在点P(1, 1, 1)处的切线方程为,三、同步测试 测试7-1,(二)、选择题（4分3=12分）,1. 设有二元函数,答案：(B),存在, 但f (x, y)在(0, 0)处不连续;,不存在, f (x, y)在(0, 0)处不连续;,存在, f (x, y)在(0, 0)处连续;,不存在, f (x, y)在(0, 0)处连续;,则 .,2. 函数f (x, y)在P(x0, y0)连续是f (x, y)在P(x0, y0),答案：(D),答案：(B),

15、3. 点O(0, 0)是函数z=xy的 .,(A) 必要条件;,(B) 充分条件;,(C) 充要条件;,(D) 既非必要条件也非充分条件.,各一阶偏导数存在的 .,(A) 极小值点;,(B) 驻点但非极值点;,(C) 极大值点;,(D) 最大值点.,(三)、计算题（6分5=30分）,求此函数在点P0(1,1)处的全微分.,求f (x, y)各一阶偏导数.,3. z=f (x, y)由方程z+x+y-ez+x+y=0所确定, 求dz.,f具有各二阶连续偏导数, 求,式中f, 具有各二阶,连续偏导数, 求,(四)、综合题（8分4=32分）,1. 设直线,2. 设n是曲面3x2+3y2+z2=6在点

16、P(1, -2, 5)处指向,在平面上, 而平面,与曲面z=x2+y2相切于点M(1, -2, 5), 求a, b的值.,外侧的法向量, 求函数,在点P处沿,方向n的方向导数.,3. 试分解正数a为三个正数之和, 而使它们的倒数和为最小.,4. 研究函数,是否有极值.,答案:函数无极值,(五)、证明题（7分2=14分）,1. 设函数,试证: f (x, y)在P(0, 0)处不可微分.,2. 设, 都具有连续一阶和二阶各偏导数, 且,试证:,测试7-2,(一)、填空题（3分4=12分）,3. 设函数z=z(x, y)由方程x2+2y2+3z2=18所确定,答案: 1,则fx(0, 1)=,则全

17、微分dz=,在点(1, 1, 1)处的切线方程为,答案:(A),答案:(D),答案:(C),(二)、选择题（4分3=12分）,在(0, 0)点处 .,(A) 极限值为1;,(C) 连续;,(D) 无极限.,(B) 极限值为-1;,2. 函数f (x, y)在P(x0, y0)处fx(x, y), fy(x, y)存在是,函数在该点可微分的 .,(A) 必要条件;,(B) 充分条件;,(C) 充要条件;,(D) 既非必要条件也非充分条件.,3. 曲面ez-z+xy=3在P(2, 1, 0)的切平面方程为 .,(A) 2x+y-4=0;,(D) 2x+y-5=0.,(C) x+2y-4=0;,(C

18、) 2x+y-z=4;,(三)、计算题（6分5=30分）,求fx(x, y)和 fy(x, y).,确定函数u=u(x, y), v=v(x, y),2. 设z=f (x)- y, (y)+x, f具有连续的二阶偏导数, 可导, 求,式中f 二阶可导, 求,5. 设u=f (x, y), g(x, y, z)=0, h(x, z)=0. 各函数都,具有连续的一阶偏导数, 且gy0, hx0, 求,(四)、综合题（9分2=18分）,1. 利用变换=x+ay, =x+by把方程,3. 求函数u=xy2z在点M0(1, -1, 2)处, 从M0指向M1(2, 1, -1)方向的方向导数, 并求函数在

19、M0点处的最大方向导数.,4. 试求底边平行于椭圆x2+3y2=12的长轴的内接,化简为,试求a, b的值.,2. 求曲线,在P0(1, 2, 3)处的切线方程.,等腰三角形面积的最大值.,(五)、证明题（7分2=14分）,1. 试证: 曲面z=x+f (y-z)上任一点处的切平面,都平行于一条直线, 式中f 连续可导.,2. 试证:,但是不可微分.,在点(0, 0)处连续, 偏导数存在,解 0, 取 =2, 当,例7-1 设,点(0, 0)处的连续性. 偏导数存在性及函数的可微性.,试讨论f (x, y)在,时, 恒有,故f (x, y)在点(0, 0)处连续.,类似地 fy(0, 0)=

20、0. f (x, y)在(0, 0)处不可微, 详见教材.,例7-2 试讨论f (x, y)在(0, 0)处的连续性与偏导数存在性,解 显然,故f (x, y)在(0, 0)处连续,故fx(0, 0)不存在. 类似可知fy(0, 0)也不存在.,例7-3 设,试求fxy(0, 0)和fyx(0, 0).,解 容易求得fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0.,当y0时,当x0时,类似于fxy(0, 0)的求法, 得fyx(0, 0)=1.,例7-4,证明: f (0, 0)在(0, 0)处偏导数不连续但可微分.,证,类似地 fy(0, 0)=0;,故偏导数不连续.,不存在,故可微分.,例7

21、-5 z=f(x2-y2, xy), 求,已知f (u, v)二阶偏导数连续.,解 设u=x2-y2, v=xy, 则,注意到,仍然是u与v的函数. 于是,类似的可求得,例7-6 设,f与g都具有连续二阶,偏导数, 求,解,例7-7 设w=f (u)二阶可导, 且,解 令,于是u=lnr, 则,由对称性, 有,例7-8 设函数f(,)具有二阶连续偏导数, 且满足,拉普拉斯方程,试证: 函数z=f(x2-y2, 2xy),也满足拉普拉斯方程,证 令 =x2-y2, =2xy, 则z=f(,).,类似地有,类似地有,例7-9 设z=z(x, y)由方程,所确定, 且F(u, v)具有连续偏导数,

22、则,证 令,则F(u, v)= 0,于是,例7-10 设x2+2y2+3z2+xy z=0, 当x=1, y=-2, z=1时,解 将所给方程两边对x及y分别求偏导数, 得,以x=1, y=-2, z=1代入式(1), (2)得,式(1)及(2)再对x及y求偏导数得,再将x=1, y=-2, z=1,代入式(3), (4)及(5),例7-11 z=x2 + y2中y=y(x)由方程x2-xy+y2 = 1定义,解 将x2-xy+y2=1两边对x求导数, 得,将z=x2+y2两边对x求导数, 得,表示式代入此式, 得,再将,例7-12 设,确定y与z为x的函数,解 将上面方程两边对x求导, 得,

23、例7-13,解,例7-14,解,例7-15 设,试讨论f (x, y)在点M0(0, 0)处的可微性及偏导数的,连续性.,解,同样fy(0,0)=0.,故f (x, y)在M0(0, 0)处可微分.,当(x, y)(0, 0)时,沿直线y=0, 令x0, 有,不存在. 故fx(x, y)在M0(0, 0)处不连续.,类似地可证fy(x, y)在M0(0, 0)处也不连续.,例7-16,解法一,解法二 先将x =sint, y = t 3代入,再对t 求导, 有,例7-17 求曲线,在t=0处的切线方程和法平面方程.,解 当t=0时, 对应上点P(0, 1, 2). 切向量为,所求切线方程为,所

24、求法平面方程为x+2(y-1)+3(z-2)=0,化简为x+2y+3z-8=0.,在点P(-2, 1, 6)的切线方程和法平面方程.,例7-18 求曲线,解 记F=2x2+y2+z2-45, G=x2+2y2-z则切向量为,可取T1=(25,28,12)作为切向量.,所求切线方程为,所求法平面方程为25x+28y+12z-50=0.,例7-19 求曲线,在点P(1, 1, 1)的切线方程和法平面方程.,解 将曲线方程对x求导, 得,切线向量为(1, 9/16, -1/16)或(16, 9 -1). 则切线方程为,法平面方程为16x+9y-z-24=0.,注 此处使用的曲线的切向量为,这使得运算

25、十分简便, 但当,需选用其他变量为参数, 例如: 求曲线,处的切线方程及法平面方程时,故改选y为参数, 经计算可得,可得切线方程为,法平面方程为,使用此方法避免了许多繁琐的计算, 不妨用求,的方法试试看, 一经比较, 便知优劣.,例7-20 试证螺旋线x=acost, y=asint, z=bt (a0, b0),上任一点的切线与z轴成定角.,证 切向量T=(-asint, acost, b), z轴由s=(0, 0, 1)表示,设交角为 , 则有,故交角为 常数, 有,例7-21 在椭圆抛物面,上求一点P,使过点P的切平面与平面2x+y+z=0平行, 并求过P点,的切平面与法线.,解 曲面上

26、任一点P(x0, y0, z0)处的法向量为,已知平面的法向量为n2=(2, 1, 1). 当且仅当n1/n2, 即当,时, 两平面平行.,将x0=-1, y0=-2, 代入椭圆抛物面方程中, 得z0=1.,满足条件的点是P(-1, -2, 1). 所求切平面方程为,2x+y+z+3=0.,所求法线方程为,例7-22 在椭球面,坐标轴正半轴为相等线段的切平面.,上, 求一个截取各,切点为M0(x0, y0, z0),切平面方程为,各轴上的截距为,依题意应有x=y=z=k (k0),代入切平面方程, 有,例7-23 证明曲面xyz=a3的切平面与三坐标面围成,的四面体的体积为一定常数.,证明,过

27、M0(x0, y0, z0)的,切线平面方程为,在三坐标轴上的截距为,例7-24 求函数u=x+y+z在点M0(0, 0, 1)处沿球面,x2+ y2+ z2 =1的外法线方向的方向导数.,解 显然球面在点M0处的外法线即是OM. (O为,坐标原点O(0, 0, 0). 即n=(0, 0, 1), cos=cos=0, cos=1.,例7-25 设有数量场,(x2+y2+z20)沿矢径方向的方向导数最大？,问a, b, c, 满足什么条件时才能使u(x, y, z), P(x, y, z)处,点P(x, y, z)的矢径为r=OP=xi+yj+zk. 只有当r/gradu时,才取最大值. 即,

28、即当a = b = c时,例7-26 求函数,在点P(1, 1, 1),处的梯度, 并求梯度的大小和方向余弦.,所求梯度为,其大小为,方向余弦为,例7-27 求由方程x2+y2+z2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0所,确定的变量x与y的隐函数z的极值.,解 方程两边关于x求偏导数, 有,由轮换对称性, 有,得驻点,进一步可求得,在P1处AC-B2=1/60, A0, 故P1 为极大值点,类似地P2为极小值点.,极大值为,极小值为,例7-28 平面,截三轴于,A, B, C. P(x,y,z)为ABC上一点, 以OP为对角线, 以三,个坐标面为三面作一个长方体, 试求其最大体积.,解法一

29、如图所示,设长方体体积为V,则V= xyz, 限制条件为,做辅助函数, 有,从前三式得,利用最后一式, 得,解法二 此题还可以利用初等方法求解.,记x=a, y=b, z=c, 则V=abc .,当= =1/3时,的等号成立.,例7-29 求内接于椭球面,的体积最大,的长方体.,解 设长方体的长、宽、高分别为2x, 2y, 2z,则体积v=8xyz, 取u=v2=64x2y2z2, 设x=a, y=b, z=c,则问题转化为u=64x2y2z2 22 2在条件 2+2+ 2=1,下的极值. 当0, 0, 0时,时, 等号成立, u取最大值,时, V 取最大值,例7-30 在椭圆x2+4y2=4上求一点, 使其到直线,2x+3y-6=0的距离最短.,解 如图所示x2+4y2=4化成,直线2x+3y-6=0的斜率为y=-2/3.,椭圆x2+4y2=4上一点P(x, y),处的切线的斜率为y=-x/4y.,求出切点,显然P1为所求点.,例7-31 求二元函数z=f (x, y)=x2y(4-x-y) 在直线,x+y=6, x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大与最小值.,解 先求函数在D内的驻点(2, 1), 解方程组,得x=0