微积分中值定理详细

1、,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三节),第三章 导数的应用,定理1 设函数 f (x)满足条件：,由上述的讨论，我们可以得到如下定理罗尔（Rolle）定理。,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,（3） f (a) = f (b) .,则在(a,b)内至少存在一点 ，使得,证 因 f (x)在闭区间a,b上连续所以在a,b上一定取到最大值M 和最小值m。,(1)若M = m则 f (x)在a,b上是常数；,f (x) = M， x a,b,3.1.1 罗 尔 定 理,由于 f

2、(x)在处取最大值，所以不论 x为正或为负，总有,当 x 0时,(2)若M m ，则M , m中至小有一个不等于 f (a) ，不妨设 f (a) M 。因此，函数 f (x)在内(a,b)某一点处取到最大值M 。我们来证 。,同理，当 x 0时,从而 ，因此，任取 (a,b)都有,因此必然有,3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理,由上述的讨论，我们可以得到如下定理拉格朗日（Lagrange）中值定理。,定理2 设函数 f (x)满足条件：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,则在(a,b)内至少存在一点 ，使得,分析：若 f (a) = f (b)即为罗尔定

3、理，不妨设 f (a) f (b) ，证明的 思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。,容易看出，弦 的方程为,证 作辅助函数,即,它是 x 的函数，将其记为 ，显然函数满足罗尔定理的 条件。,显然 在上a,b连续，在(a,b)可导，且,于是由罗尔定理，至少存在一点 (a,b) ，使得,Made by Huilai Li,中值定理的演示,T 与 l 平行,这样的x可能有好多,在区间 上应用拉各朗日中值定理时， 结论可以写成,由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。,证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1 x2，显然 f (x)在 a,b上连续，在(x1，x2)内

4、可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点 (x1，x2) ，使得,推论2 若函数 f (x)， g(x)在(a,b)内可导，且,推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 ，则 f (x) 在(a,b)内是一个常数。,由条件知 ，从而f (x2) f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2 是(a,b)内的任意两点，于是我们就证明了 f (x)在(a,b)内恒为一个常数。,则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即,其中c为常数。,事实上，因为 ，由 推论1可知,应用拉格朗日定理，我们不可以证明一些等式和不等式 。,例1. 证明等式,

5、证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.1.3 柯 西 中 值 定 理,定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件：,作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理：,则在(a,b)内至少存在一点，使得,证 先用反证法证明g(b) g(a)0，若不然，即有g(b) = g(a). 则由罗尔定理知，至少存在一点x0 (a,b)，使得 ，此与条 件(3)矛盾

6、，故有g(b) g(a)0。,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间(a,b)内可导；,注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g (x) = x时的 一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。,即,显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点 ，使得 ，即,为证明等式成立，我们作辅助函数,费马(1601 665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最

7、大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日 (1736 1813),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文8

8、00余篇, 著书 7 本 ,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,第三章,定理：设（1） （2）在点 的某邻域内（点 本身可以 除外）， 及 存在且 （3） 存在或为无穷大， 则有,一 两个无穷小量之比的极限 （ 型）,3.1.4 罗必达法则,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: (1) n 为正整数的情形.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,例如,而

9、,用洛必达法则,1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,极限不存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 若,其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,例6. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例7. 求,解:,利用 例5,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例8. 求,解:,注意到,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.

10、 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,举例说明 .,极限,说明 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达(1661 1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“ 洛必达法,的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书 .,则 ”.,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,原式 =,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,一、函数单调性和极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,

11、3.2函数性态的研究,第三章,3.2.1 函数单调性和极值1.函数的单调性,若,定理 1. 设函数,则 在 (a,b)内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在(a,b) 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,例1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 证明,时, 成立不等

12、式,证: 令,从而,因此,且,证,证明 目录 上页 下页 返回 结束,* 证明,令,则,从而,即,2 函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2 若函数 f (x) 在点 处有极值，

13、 且 存在，则,使 的点 称为函数f (x)的驻点,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不确定,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,

14、机动 目录 上页 下页 返回 结束,下列命题是否正确？为什么？,(1) 若 ，则 x0是 f (x)的极值点；,(2) 若 f (x) 在 x0点取得极值，必有 ；,解 (1) 错误。如 f (x)x3 ，则 ，但f (x) 在 x00点无极值。,(2) 错误。反例为 ，易知 f (x) f (0) ，即x00 是 f (x) 极值点，但 f (x)在x00不可导。,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调

15、时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.2.2 曲线的凹凸性与拐点 1 曲线的凹凸性 定义：如果一段曲线位于它上面任一点的切线上方， 我们就称这段曲线是凹曲线； 如果一段曲线位于它上面任一点的切线下方， 我们就称这段曲线是凸曲线；,曲线的拐点：如果一条曲线既有凹的部分也有凸的部分， 那么这两部分的分界点叫拐点。,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸

16、的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,例1. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 (

17、0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,上,则,或,的大小顺序是 ( ),提示: 利用,单调增加 ,及,B,1. 设在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,2. 曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示:,及,;,;,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,有位于一直线的三个拐点.,1.求证曲线,证明：,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,得,从而三个拐点为,因为,所以三个拐点共线.,机

18、动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,当,时，,有,证明:,令, 则,是凸函数,即,2 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(自证),内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,2. 连续函数的最值,3. 设,是方程,的一个解,若,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内

19、单调减少 .,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特点:,3.3 函数展为幂级数,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,3.3 .1 用多项式近似表示函数,1. 求 n 次近似多项式,要求:,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,1.幂级数,常用的几个函数的幂级数展开式,定义1： 给定数列 则表达式 叫做无穷级数（简称为级数）， 记为或 或 。其中第n 项 叫做无穷级数的通项或一般项。,如果级数的每一项都是常数，这级数称为常数项级数或数项级数； 如果级数的每一项都是函数，这级数叫做函数项级数。,2. f (x)的幂级数展开式,函数 f (x)在点