第三章_数字特征2.ppt

1、三、协方差,对于二维随机向量（X，Y）而言，如果 X 和 Y 的数学期望和方差都存在，这时 EX、DX、EY、DY 分别反映了随机变量 X 和 Y 各自的部分特性。 然而二维随机向量的联合分布中还包含有 X 与 Y 之间相互关系的信息，能不能像数学期望和方差那样，用某些数值来刻画 X 和 Y 之间的联系的某些特性呢？ 协方差和相关系数就是描述两个随机变量之间联系的数字特征。,定义：设（X，Y）是一个二维随机向量，且,存在，则称,为 X 与 Y 的协方差(Covariance)。,性质： 设 X，Y 和 Z 是任意随机变量，且它们的方差均存在，则,（3） 对于任意常数 a 和 b，有:,证明：由

2、协方差的定义容易验证（2）和（3），下面仅证（1）和（4）。,（1）,（4）,性质：设随机变量 X 与 Y 的方差存在，则,证明: 由方差的定义知，,类似地可以证明：,推广：设 X1，Xn 的方差均存在，则,当 X1，Xn 不独立时，,协方差是关于两个随机变量的一个数字特征，它的数值在一定程度上反映了这两个随机变量相互间的某种关系，不过用它来描述这关系马上就会发现一个不足的地方。,如随机变量 X和Y各自增大 k倍（k 0），则即协方差却为：,即协方差却增大了 倍。而kX， kY相互之间的联系与 X，Y 之间的关系从直观上看并无差别。为克服这一缺点，可在计算协方差之前，先对随机变量进行“标准化”

3、。故引入相关系数概念。,定义:设（X，Y）为二维随机向量，且 X 和 Y 的方差均存在，都为正( 0 )，则称,为随机变量X与Y的相关系数（coefficient of correlation）。,易见，对k 0,有,性质：设,性质：设,是X和Y独立的充要条件。,定理：（柯西施互茨（CauchySchwarz）不等式）,证明： 对任意的实数 t， 考虑,由于对于任意的实数 t 恒有,即,故判别式 0， 即,从而,定理 设随机变量 X 与 Y 的方差存在，相关系数为,则有：,的充分必要条件是 X 与 Y 以概率1线性相关，即存在常数 a 与 b，使有,证明：（1） 令,运用柯西-施瓦茨不等式，可

4、得,即：,证明（2）:由（1）的证明过程可知：,等价于,这等价于二次方程：,即：,仅有一个重根,又因为,即,所以,令,的充分必要条件是：,即有：,而由性质(DX=0,有 P(X=a)=1) 知：,的事件概率为1，即 X 与 Y 之间线性关系不成立的事件的概概率为零。,当,这种线性相关的程度随着,称 X 与 Y 正线性相关；,当,称 X 与 Y 负线性相关；,当,的减小而减弱。,时，称X与Y不相关的，,即它们没有线性关系。,当,定理 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则X与Y不相关；反之不然。,证明： 由于X与Y独立，即知,所以，,从而可知:,即X与Y不相关。,特别注意：但当 X 与 Y 不相关时， X 与 Y 却不一定独立。,两个随机变量之间的独立与不相关是两个不同的概念。 “不相关”只说明两个随机变量之间没有线性关系,但可能存在其他函数关系，也可能相互独立。 而“独立”说明两个随机变量之间既无线性关系，也无其他函数关系。 所以“独立”必导致“不相关”；反之不然。,“独立” “不独立” （无任何关系） （有某种关系）,相关 “不相关” （有线性关系）,（没有线性关系） 关系可有强弱,（但存在其他函数关系）,“不相关” （没有线性关系） 没有任何其它关系,随机变量 X