第6章 几何建模.ppt

1、1,第6章 几何建模,2,在CAD/CAM整个过程中，要涉及产品几何形状的描述、结构分析、工艺设计、加工、仿真等方面的技术，其中几何形状的定义与描述是关键，它为结构分析、工艺规程生成、加工制造提供基本数据（PDM贯穿始终），后续的数据都是由它衍生而来。,不同应用领域或部门，对物体的几何形状定义与描述的要求不同。,3,有的只需2D图形。特点是：描述简单、传递快速、节省空间。 但阅读时，用户需“翻译”转换成3D实体，提高了对用户的要求。,仅有2D的CAD系统是不够的，需要能够处理3D实体的CAD系统。,实际设计构形时，思维中先有真实的几何形状/实物模型，再用视图形式表达设计结果。,4,几何建模以计

2、算机能够表示的方式，对实体进行准确定义（即以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述），在计算机内部构造出实体的几何模型。,几何模型,整数维模型,分数维模型,正则体模型,非正则体模型,以欧氏 几何方程 表示的模型, 用分形几何方法描述对象几何特性，以过程式模拟对象的模型,5,表示形体的两大模型,6,6.1 几何模型基础一、表示形体的坐标系,造型坐标系MC（Modeling Coordinate System） 右手直角坐标系。对于定义的每个形体或图素都有各自的坐标原点和长度单位，这样可以方便形体和图素的定义。是局部坐标系。,7,坐标系,造型坐标系,用户坐标系,观察坐标系,规范设备坐标系,设

3、备坐标系,直角坐标系,仿射坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,极坐标系,8,二、几何元素的定义1. 点,点是0维几何元素, 如:端点、交点、切点和孤立点等。 1）控制点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面不一定经过的点。,9,2）型值点：用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面一定经过的点。 3）插值点：为了提供曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入一系列的点。,边是1维几何元素, 由端点定界，是邻面交界线，具有方向。,2. 边,10,是2维几何元素, 是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。 面有方向，用其外法矢方向作为该面的正向。,3. 面4. 环,

4、是有序、有向边组成的面的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。确定面的外界的环称为外环，逆时针方向排序。而把确定面中内孔边界的环称为内环，顺时针方向排序。 左侧总在面内，右侧总在面外。,11,3 维几何元素，由封闭表面围成的空间。其边界是有限面的并集。,5. 实体的定义,抽象带来的问题： 计算机中表示的物体有时是无效的，不能够客观存在，不能为 CAD/CAM系统所用。,12,什么是客观存在（有效）的实体？ 具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体,即，有效的实体不能有游离的、悬挂的面、边、点。,13,内点 边界点 取内点运算

5、i 取闭包运算 C 正则运算 r,这需要用正则集合的概念表示。 正则集合的有关术语：,14,问题：正则点集是否一定是实体？,称为A的正则点集； 如果点集A 满足 ，称A为正则点集。,15,实体的定义（可计算的条件） 正则点集 表面是二维流形 二维流形其上任意一点存在充分小的区域 与圆盘同 构（存在连续的一一映射）,16,为什么需要正则集合运算？ 集合运算式构造复杂物体的有效方法 普通的集合运算会产生无效物体,三、正则集合运算,17,正则集合运算的定义,正则并（*） 正则交（*） 正则差（*）,18,6.2 图形数据结构,计算机所描述的形体包含两种信息（图形信 息、非图形信息），如何将它们合理地

6、组织起来？ 这就是数据结构问题。,19,研究相关数据的逻辑结构和物理结构及其 相互关系；表达数据间一种结构联系。,一、数据结构概念,数据的逻辑结构 数据项所建立的真实存在的逻辑结构关系， 与存储介质无关。,20,数据的物理结构 数据结构在机内的表示，也称存储结构。 它是数据结构在机内的映像。映像方法不同， 则对应的存储结构也不同：,顺序映像： 顺序存储结构 非顺序映像：链表存储结构、块链存储结构,数据项:,21,二、几何模型数据结构,目的：节省存储空间，提高存储和处理速度， 所以要有效组织。,基本要求：(1)可描述几何/拓扑/特性信息 (2)便于动态操作(增删、修改等) (3)时空要求 常用的

7、有数组、链表、树、翼边结构等,22,1.单链三表结构,单链用于表达模型几何元素（面、边、点） 单向连接关系，是单向查询。,23,双链用于表达模型几何元素（体、面、点） 双向连接关系，可双向查询。,2. 双链三表结构,24,记录以边为核心的一组邻接信息，描述一条 边与其相邻的两个顶点、四条邻边、两个邻面拓 扑信息，方便查找各元素间的邻接关系。如遍历 面上所有边、所有面。,3. 翼边数据结构,存储：边与顶点、边与面、边与边邻接关系。,运算：边与边求交、边与面求交、删除旧边、 增加新边、生成新面环等。,25,6.3 形体的数据模型一、线框模型,由一组顶点和边（直边、曲边）构成表示 对象的三维几何模型

8、。 线框模型就是使用该物体的棱边来表示其形 体特征。物体的线模型中有顶点信息和边的信息。,26,特征：,27,数据结构：两表结构 顶点表：几何信息（顶点号Vi（xi,yi,zi） 边表：拓扑信息（边号Ei 端点号VjVJ+1）,四面体的线模型数据结构表,28,特点：所需信息量小、运算简单、存储空间较小；,不足： 平面形体因轮廓线与棱线一致，能清楚地反映物体真实形状，对于曲面体则不能准确描述。 如圆柱面的轮廓线，需添加母线，圆柱顶面、底面轮廓线则除了圆弧的两端点外，还需圆心位置、弧走向等）,只存储离散的边，无边与边的关系（即没有面的信息），以致信息表达不完整，使物体形状产生多义性，难以确定真实形

9、状。不能自动消隐，给物体的几何特性、物理特性计算带来困难，如不能计算体积。,29,作用： 在表示物体的形状、位置、方位时；, 在打样、构思时便于草图表示：用线 条勾划形体的基本轮廓，待逐步细化。,作为表面模型/实体模型系统友好用户界 面的手段： 输入简单，进一步构造、转换成 表面实体模型。 输出直观：产生二维视图的工程图样。,30,二、表面模型,由一组顶点、边和面构成的三维几何模型。 是在线框模型基础上增加面的信息，相当于 在灯笼骨架外蒙上一张外皮。,数据结构：三表结构 顶点表边表 面表 Vi(xi,yi,zi) Ei (Vj,VJ+1) Fi(Ej,EK,El,En),拓扑信息,几何信息,3

10、1,特征：,32,六面体的面模型数据结构表,33,三、实体模型,由一组顶点、边、表面和体积构成的三维几 何模型。是对对象的边界和内部均作定义的模型。,其表面完全封闭、且有向。（面模型的面可 以不封闭，面的上、下表面都可以有效）,34,实体模型构造的基本思想： 将形状规则、简单的几何体，通过集合运 算组成所需要的复杂体。,特点：将空间点分为在对象内、外、边界上。故， 实体模型所包含的信息更完整。可计算几何特性。,35,6.4 实体的表示一、基本体素引用法 （Pure Primitive Instancing）,基本体素：可通过函数或参数描述的形体方式： 比例变换引用 参数指定引用 缺点：难于构造

11、复杂形体,36,二、空间位置枚举法（ Spatial Occupancy Enumeration）,原理：用占有等分单位立方体的 情况表示形体。 占有形式： full， partial，empty,37,用三维数组CIJK表示物体，数组中的元素与单位小立方体一一对应 当CIjk = 1时，表示对应的小立方体被物体占据 当CIjk = 0时，表示对应的小立方体没有被物体占据,38,缺点： 占用大量的存储空间，如1024*1024*1024 = 1G bits； 没有边界信息，不适于图形显示； 对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换； 是物体的非精确表示； 唯一性不好，易改变拓扑关系。,优点

12、： 可以表示任何物体；容易实现物体间的集合运算； 容易计算物体的整体性质，如体积等。,39,三、四叉树和八叉树表示法,空间位置枚举法的改进 逐步均分时遇全空或全满单元不再分 用层次式结构代替规则排列的单元阵列 数据量小,40,八叉树的根节点对应整个物体空间； 如果它完全被物体占据，将该节点标记为F，算法结束； 如果它内部没有物体，将该节点标记为E，算法结束； 如果它被物体部分占据，将该节点标记为P，并将它分 割成8个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理。,41,42,优点： 可以表示任何物体 容易实现物体建的集合运算 容易计算物体的整体性质，如体积等 较空间位置枚举表示占用的存贮空间少,缺

13、点： 没有边界信息，不适于图形显示 对物体进行几何变换困难 是物体的非精确表示,43,四、单元分解法 Cellular Decomposition,44,优点： 表示简单 容易实现几何变换 基本体素可以按需选择，表示范围较广 可以精确表示物体 缺点： 分解方法不唯一，故表示方法不唯一 物体的有效性难以保证,45,三种空间分割方法的比较： 空间位置枚举表示同样大小立方体粘合 在一起表示物体 八叉树表示 不同大小的立方体粘合在一 起表示物体 单元分解表示多种体素粘合在一起表示 物体,46,五、扫描表示法 Sweeping,将物体A沿着轨迹P推移得到物体B， 称B为sweep体。,两种基本类型： 平

14、行扫描 旋转扫描,47,3）在旋转或平移时作线性或非线性比例变换。 4）旋转扫描时，旋转轴本身位置和方向作变化。,复杂情况： 1）某一区域沿一曲线移动，如一圆盘的中心沿一指定的曲线移动，移动时其法线方向始终与曲线的切线方向一致。 2）某一区域绕一轴旋转的同时作平行于旋转轴方向的平移，或垂直于旋转轴方向的平移。,48,平移sweep将一个二维区域沿着一个矢量 方向推移,49,旋转sweep将一个二维区域绕旋转轴旋转 一周,50,51,广义sweep 任意物体沿着任意轨迹推移 推移过程中物体可以变形,52,优点： 表示简单、直观 适合做图形输入手段,缺点 作几何变换困难 对几何运算不封闭,53,六

15、、结构实体几何法 Constructive Solid Geometry-CSG,54,将物体表示成一棵二叉树，称为CSG树,U,-,U,-,T1,T2,T3,T4,55,叶节点基本体素，如立方体、圆柱体等 中间节点正则集合运算,56,57,优点： 表示简单、直观 是物体的构造方法，可用作图形输入手段 容易计算物体的整体性质 物体的有效性自动得到保证,缺点： 表示不唯一 不能直接用于显示 求交计算麻烦,58,七、边界表示法Boundary Representation,一个实体通过它的曲面片或平面多边形的集合 来表示。平面多边形、曲面片称为物体边界,一个实体的边界表示必须满足一定的条件： 定义

16、一个实体的边界的面片的个数有限 任意一个面片都是它的边界的子集。 所有面片的并集定义该实体的边界 一个面片是它的扩展曲面或平面的一部分。,59,60,61,欧拉公式：,V-e+f=2,欧拉公式是必要条件,62,广义欧拉公式：,V-e+f-r=2(s-h),r: 多面体表面上孔的个数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞个数,63,优点： 精确表示物体 表示能力强 几何变换容易 适于显示处理 缺点： 表示复杂 有效性难以保证 集合运算复杂,64,八、特征造型Feature Modeling,实体模型虽描述了物体几何信息与拓扑信息， 但明显缺乏工程含义，无法提取和识别工程信息。,对于一

17、个产品，设计人员不仅关心其结构形 状、公称尺寸，还关心其公差、表面粗糙度、材 料性能、技术要求等非几何信息，它们也是加工 零件所需信息的组成部分。,65,但这些却在实体造型中不能充分描述，影响CAPP、CAM系统直接使用CAD系统生成的产品信息，无法实现CAD/CAM的集成。后续系统需要重新输入产品设计信息。,特征造型方法：面向整个产品设计过程和生产制 造过程，不仅包含与生产有关的信息，而且还能 描述这些信息之间的关系。,通常，建立在实体造型基础上，在已有几何信息上附加，如“形位公差、表面粗糙度、材料性能”等制造信息。,66,特征造型提供了符合设计人员思维的人-机交 互语言。,特征定义 设计、

18、加工、装配过程中关于零件形状和其它属性的信息。,特征分类 从生命周期看：设计特征、加工特征、分析特征、公差及检测特征、装配体特征。,67,从功能上看：形状特征、精度特征、材料特征、 技术特征。 从设计方法上看：通道特征、挤压特征、提拉 特征、过渡特征、表面特征、形变特征。,68,6.5 分形几何方法Fractal,分形物体特征 每点处有无限细节 放大时逐步可见 整体与局部特征之间的自相似性(树) 整体与局部都不能用传统的几何语言来描述,分形方法应用于 自然景物 山、水、云、雾、岩层、植物、 羽毛等的模拟,69,生成过程 重复使用一给定变换函数 P0=(x0,y0,z0) P1=F(P0), P2=F(P1), P3=F(P2).,分形模型分类 随机插值模型 海岸线 粒子系统模型 火焰 正规文法模型 植物 选代函数系统模型,70,自相似分形的维数 S 单个缩放因子 n 分成子部分数目 D 分形维数 nSD=1,Sk 不同部分的缩放因子 SkD=1,71,一、确定性自相似分形几何构造,初始元-开始时给定的几何形状 生成元-替代初始元中每一部分的模型 Koch曲线 缩放