必修二：球的内切和外接 例题讲解

1、圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的,根据台体的特征，如何求台体的体积？,柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？,求此棱柱挖去圆柱后的体积和表面积,定理: 半径是r的球的体积,定理: 半径是r的球的表面积,球的体积、表面积的计算公式,球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？,球与多面体的内切、外接,正方体的外接球,二、球与多面体的接、切,定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内

2、接多面体， 这个球是这个 。,定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 。,多面体的外接球,多面体的内切球,棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。,中截面,设为1,球的外切正方体的棱长等于球直径。,中截面,正方形的对角线等于球的直径。,球内切于正方体的棱,对角面,设为1,球的内接正方体的对角线等于球直径。,球外接于正方体,正方体的内切球直径,正方体的外接球直径,与正方体所有棱相切的球直径,探究 若正方体的棱长为a，则,a,球与正方体的“接切”问题,典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正

3、方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 找准数量关系,球的性质,性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。,大圆-截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心,a,例4已知过球面上三点a、b、c的截面到球心o的距离等于球半径的一半，且ab=bc=ca=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球o半径为r， 截面o的半径为r，,例5、 求棱长为 a 的正四面体 a-bcd的外接球的表面积。,变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） a. b. c. d.,a,五、构造直角三角形1、

4、求棱长为a的正四面体外接球的体积,2、求棱长为a的正四面体内切球的体积,四面体与球的“接切”问题,典型：正四面体abcd的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径r.,【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。,(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心 (2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法” (3)正四面体内切球半径是高的 ，外接球半径是高的 . (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球),思考：若正四面体变成正三

5、棱锥，方法是否有变化？,四面体与球的“接切”问题,思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？,1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法,1,例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,过侧棱ab与球心o作截面( 如图 ),在正三棱锥中，be 是正bcd的高，,o1 是正bcd的中心，且ae 为斜高,解法1：,作 of ae 于 f,设内切球半径为

6、r，则 oa = 1 r, rt afo rt ao1e,设球的半径为 r，则 va- bcd =,vo-abc + vo- abd + vo-acd + vo-bcd,解法2：,例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,注意：割补法，,探究(2)：如图是一个简单组合体的三视图，想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它的示意图。,正视图,侧视图,俯视图,思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？,m,例2一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且两底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何

7、体的直观图.,练习4:已知一四边形abcd的水平放 置的直观图是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真实图形。,六、寻求轴截面圆半径法,正四棱锥s-abcd的底面边长和各侧棱长都为 ，点s,a,b,c,d都在同一球面上，则此球的体积为 .,解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为o，如图3所示.由球的截面的性质， 可得 又 ，球心o必在 所在的直线上. 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在 中，由 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故,球的表面积与体积,【思路点拨】根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系，求出球半径,【思路点拨】(1)利用特征三角形求斜高即可； (2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径,例3 求棱长为 a 的正四面体 p abc 的外接球的表面积,过侧棱 pa 和球心 o 作截面,则截球得大圆，截正四面体得pad，如图所示,连 ao 延长交 pd