第七章 参数估计.ppt

1、第七章 参数估计,第一节 点估计 第二节 区间估计,点估计,点估计也称定值估计，它是以抽样得到的样本指标作为总体指标的估计量，并以样本指标的实际值直接作为总体未知参数的估计值的一种推断方法。 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等。这里仅介绍最为简单、直观又常用的矩估计法和最大似然估计法。,（一）矩估计法,在统计学中，矩是指以期望为基础而定义的数字特征，一般分为原点矩和中心矩。 设X为随机变量，对任意正整数k，称E（Xk）为随机变量X的k阶原点矩，记为： mkE（Xk） 当k1时， m1E（X） 可见一阶原点矩为随机变量X的数学期望。 我们把CkEXE（X）k称为以E（

2、X）为中心的k阶中心矩。 显然，当k2时， C2EXE（X）2可见二阶中心矩为随机变量X的方差。,我们分别用样本平均数和样本修正方差来估计总体数学期望和总体均方差，即有：,例题,已知某种灯泡的寿命XN（，），其中，都是未知的，今随机取得4只灯泡，测得寿命（单位：小时）为1502，1453，1367，1650，试估计和 。 解：因为是全体灯泡的平均寿命，为样本的平均寿命，很自然地会想到用去估计；同理用S去估计 。由于,2最大似然法 设总体X的概率分布为,或概率密度为,其中,是未知参数。,如何求极大似然估计量呢？,求最大似然估计量的步骤为:,(1)对给定的总体X，写出似然函数,(2)列出似然方程,

3、(3)求解上述方程，得关于,的解即为,的最大似然估计量。,含多个参数,令,似然方程,或,最大似然解,5.1.2 点估计的常用方法,估计量优劣的标准 1、无偏性 是指样本估计量的均值应等于被估计总体参数的真值，即,一、点估计,2、有效性 是指作为优良的估计量，除了满足无偏性外，其方差应比较小。,一、点估计,3、一致性 也称相合性，是指随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体参数,区间估计,区间估计的思想： 区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可能范围。 它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指标落在这个可能范围内的

4、概率。 区间估计既说清估计结果的准确程度，又同时表明这个估计结果的可靠程度，所以区间估计是比较科学的，它是本节阐述的重点。,107页例题7.3 纠正错误：前提条件为随机重复抽样,第二节 单一总体参数的区间估计,一、总体均值的区间估计 （一）正态总体或大样本非正态总体 近似于正态分布 107页例7.4 （二）小样本正态总体 近似于分布 108页例7.5 练习：132页第4题,二、总体比率的区间估计 大样本总体 近似于正态分布 109页例7.6,练习,某企业对某批电子元件进行检验，随机抽取100只，测得平均耐用时间为1000小时，标准差为50小时，合格率为94%，求： （1）以耐用时间的允许误差范

5、围x10小时，估计该批产品平均耐用时间的区间及其概率保证程度。 （2）以合格率估计的误差范围不超过2.45%，估计该批产品合格率的区间及其概率保证程度。 （3）试以95%的概率保证程度，对该批产品的平均耐用时间做出区间估计。 （4）试以95%的概率保证程度，对该批产品的合格率做出区间估计。,求（1）的计算步骤： 求样本指标： 根据给定的x 10小时，计算总体平均数的上、下限： 下限 上限 根据tx/x10/52，查概率表得F（t）95.45% 由以上计算结果，估计该批产品的平均耐用时间在9901010小时之间，有95.45%的概率保证程度。,求（2）的计算步骤： 求样本指标： p94% 根据给

6、定的p2.45%，求总体合格率的上、下限： 下限 上限 根据tp /p2.45%/2.38%1.03，查概率表得F（t）69.70% 由以上计算结果，估计该批产品的合格率在91.55%96.45%之间，有69.70%的概率保证程度。,解：求（3）的计算步骤： 求样本指标： 根据给定的F（t）95%，查概率表得t1.96。 根据xtx1.9659.8，计算总体平均耐用时间的上、下限： 下限 上限 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的平均耐用时间在990.21009.8小时之间。,求（4）的计算步骤： 求样本指标： p94% 下限pp94%4.6%89.4% 上限pp94%4.6%98.6%

7、。 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的合格率在89.4%98.6%之间。,三、总体方差的区间估计 109页例7.7 纠错：109页例题的问题改为：求该种微量元素肥袋重标准差的置信区间。,第三节两个总体参数的区间估计（112页）,一、两个总体均值之差的区间估计 （一）两个总体均值之差的估计：独立样本 大样本：近似于正态分布 小样本： （1）两个总体的方差均已知，近似于正态分布 （2）两个总体的方差均未知但相等，近似于分布 （3）两个服从正态分布的总体的方差均未知且不等，但样本容量相等，近似于分布 （4）两个总体的方差均未知且不等，样本容量也不等，近似于分布，自由度为V,讲解例题 111页

8、例7.8 112页例7.9 练习：133页第7题,一、两个总体均值之差的区间估计 （二）两个总体均值之差的估计：匹配样本 113页例7.10,二、两个总体比率之差的区间估计 114页例7.11 三、两个总体方差比的区间估计 115页例7.12 练习：133页第8题,第四节 样本容量的确定,影响样本容量的因素 （一）总体的变异程度(总体方差)。 在其它条件相同的情况下，有较大方差的总体，样本的容量应该大一些，反之则应该小一些。 （二）允许误差的大小。 允许误差指允许的抽样误差，记为 。所以，在其他条件不变的情况下，如果误差小，那么样本容量就要大一些；反之，则样本容量可以小一些。 （三）概率保证度

9、1的大小 。概率保证度说明了估计的可靠程度。所以，在其他条件不变的情况下，如果要求较高的可靠度，就要增大样本容量；反之，可以相应减少样本容量。 （四）抽样方法不同。 在相同的条件下，重复抽样需要更大的样本容量，而不重复抽样的样本容量则可小一些。,单个总体样本容量的确定,在设计抽样时，先确定允许的误差范围和必要的概率保证程度，然后根据历史资料或试点资料确定总体的标准差，最后来确定样本容量。,117页例7.13 例7.14,练习：确定样本容量,对某批木材进行检验，根据以往经验，木材长度的标准差为0.4米，而合格率为90%。现采用重复抽样方式，要求在95.45%的概率保证程度下，木材平均长度的极限误

10、差不超过0.08米，抽样合格率的极限误差不超过5%，问必要的样本单位数应该是多少？,确定样本容量应注意的问题,计算样本容量时，一般总体的方差与成数都是未知的，可用有关资料替代： 一是用历史资料已有的方差与成数代替； 二是在进行正式抽样调查前进行几次试验性调查，用试验中方差的最大值代替总体方差； 三是成数方差在完全缺乏资料的情况下，就用成数方差的最大值0.25代替。 如果进行一次抽样调查，同时估计总体均值与成数，用上面的公式同时计算出两个样本容量，可取一个最大的结果，同时满足两方面的需要。 上面的公式计算结果如果带小数，这时样本容量不按四舍五入法则取整数，取比这个数大的最小整数代替。例如计算得到：n=56.03，那么，样本容量取57，而不是56。,两个总体样本容