线性方程组解的结构课件

1、,第四章,线性方程组解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,4.3 非齐次线性方程组解的结构,1,学习交流PPT,其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?,齐次线性方程组,解的结构,本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构,主要内容:,非齐次线性方程组,解的结构,其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?,2,学习交流PPT,4.1 线性方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,对于齐次方程组,3,学习交流PPT,第四章,线性方程组解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程

2、组解的存在性定理,4.3 非齐次线性方程组解的结构,4,学习交流PPT,记 Ax = 0 的解集为:,(1),1.解向量:,的一个解向量.,2.解向量的性质:,(2),不妨设,是 N(A) 的最大无关组(称为基础解系),则:由(1),(2)可知,( 取任意实数),4.2 齐次线性方程组解的结构,5,学习交流PPT,通过下面的例子, 来解决以上问题,问题:对于给定的方程组如何求其基础解系?,解:,6,学习交流PPT,是解吗?,线性无关吗?,任一解都 可由 表示吗?,基础解系所含向量的个数 = ?,是基础解系吗?,令自由变量为任意实数,说明:,1.基础解系不惟一,2.但所含向量的,个数唯一且等于n

3、-R(A),7,学习交流PPT,齐次方程组 的基础解系所含向量个数为,设一个基础解系为:,则通解为:,例,设阶矩阵的秩为，,的每行元素之和,为零，写出的通解,解：,的基础解系所含向量个数为,则通解为：,8,学习交流PPT,设 , 是 的,两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是,设 ,证明,重要结论,证,因此,移项,9,学习交流PPT,例4.,已知,的列向量组是齐次线性,方程组,的基础解系,B是m阶可逆矩阵,试,证:AB的列向量组也是齐次线性方程组,的基础解系.,证明:,则AB的列向量组是齐次线性方程组,的解向量,由条件可知A的列向量组线性无关且含m个向量,所以AB的列

4、向量组线性无关,即是方程组,的基础解系.,10,学习交流PPT,第四章,线性方程组解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,4.3 非齐次线性方程组解的结构,11,学习交流PPT,(2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解.,设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x,是 (2)的解,从而存在 使得,由此得:,1.解向量:,2.性质:,4.3 非齐次线性方程组解的结构,12,学习交流PPT,的一特解解,则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为:,例5.,的三个解向量,解:,的基础解系 含一个向量,

5、13,学习交流PPT,解,14,学习交流PPT,设 是非齐次 Ax = b 的两个不同的解,其对应的齐次方程组的基础解系,则 Ax = b 的通解是(多选),15,学习交流PPT,例8.,已知方程组,问:a为何值时,方程组有唯一解?无解?无穷多解?,有无穷多解时求出通解.,解:,所以有无穷多解,16,学习交流PPT,因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,所以方程组无解.,例9.,的三个,解向量,17,学习交流PPT,例10,设线性方程组,的系数矩阵为A,存在,解:,则B的列向量组为AX=0的解向量,例11,齐次线性方程组,则下列结论正确的是,18,学习交流PPT,例2,已知方程组,问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？,在方程组有无穷多个解时求出通解,（考试题）,解：,方程组有唯一解,即,当时,当时,19,学习交流PPT,思考题:,1.求:,2.设A