高等代数2.ppt

1、第一章 多项式,学时：28学时 教学方法和手段 由于多项式与整数在许多方面有相似之处，因此在建立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比。 基本内容和教学目的 本章主要讨论一元多项式的概念和运算，建立多项式因式分解理论，并讨论与之有密切关系的求根问题。这是中学有关知识的加深和扩充。 本章的重点和难点 重点:一元多项式的因式分解理论. 难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.,1.1 数环和数域,研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。,比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根

2、的情况，都跟数的范围有关。,例如,我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。,在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中,代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。,（即运算是否封闭）。,运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。,例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、

3、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。,根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。,一、数环,设S是由一些复数组成的一个非空集合，,则称S是一个数环。,整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集,C都是数环。,例如：,1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？,问题：,2、有没有最小的数环？,例1：设a是一个确定的整数。令,定义1：,则S是一个数环。,特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。,问题：,3、一个数环是否一定包含0元？,例2：证明,是一个数环。,问题：,定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充,要条件是S中任两

4、个数的差和积仍在S中。,二、数域,定义2：,设F是一个含有不等零的数的数集，如果F,则称F是一个数域。,有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，,例如：,则称F是一个数域。,中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，,且是三个最重要的数域。,问题：,7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？,例3：证明,是一个数域。,证明要点：,8、一个数域必包含哪两个元素？,问题：,9、最小的数域是什么？,定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。,证明：设F是一个数域，则,于是,对,故,10、在判断一个数集是不是数域时，实际上,问题：,要检验几种运算？,设F是一个含有非零数的数集，则F,定理1.1

5、.3：,问题：,例：对任意素数P，,是一个数域。,在R与C之间不可能有别的数域。,设有数域F，使,，故,设x=a+bi，且,数不为零）仍属于F。,是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除,可见F=C。,问题：,两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。,1.2 一元多项式的定义和运算,一、多项式的概念,中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。,例：,4a+3b，,在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。,后来又把多项式定义为R上的函数：,但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中,并没有交代。,问题：,1

6、、高等代数中采用什么观点定义多项式？,定义1：,设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数,其中,，称为数域F上的一元多项式。,常数项或 零次项,首项 首项系数,称为i次项系数。,高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义：,这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。,系数可以是任意数域。,例1.2.1：,是Q上多项式；,是R上多项式；,是C上多项式。,都不是多项式。,定义2：,是两个多项式，,除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。,多项式的表法唯一。,定义3：,设,最高次项，亦称为首项。,例1.2.2：,零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。,零多项式：系数全为0

7、的多项式。对零多项式不,个多项式不是零多项式。,首一多项式：首项系数为1的多项式。,二、多项式的运算,定义4：,设,是数域F上次数分别,定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这,。当mn时，取 。,例1.2.3：设,其中,相乘积的和作为,的系数。得：,把 中两个系数下标之和为k的对应项,多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：,加法交换律：,加法结合律：,乘法交换律：,乘法结合律：,乘法对加法的分配律：,下面证明多项式乘法满足结合律。,证：设,现证,这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。,左、右两边同次项的系数相等，,乘法满足结合律。,三、多项式的次数定理,定理2.1.1：

8、设,证：设,多项式乘法没有零因子。,推论1：若,证：若f=0或g=0，则必有fg=0。,反之，若,，矛盾。,乘法消去律成立。,则,证：,定义5：,对多项式的加、减、乘法是否封闭？,上的多项式环。,对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域F,1.3 整除性理论,一、多项式整除的概念,多项式的整除性,设,，记为：,整除的基本性质,性质1：,若,则,。（传递性）,证：,使,性质2：,若,，则 。,证：,性质3：,若,，对 。,证：,性质4：,若,则对,有,性质5：,若,则,证：,为常数。,性质6：,且,则,性质7：,带余除法定理,定理1.3.1：,则存在,使得,商式,余式,证：先证存在性。,2、设,当

9、nm时，显然取,现考虑次数为n的情况。,，即知结论成立。,的次数小于n或为0。,于是,取,就有,，结论成立；,再证唯一性。,若有,则,若,则,故,从而,推论1：,证：,充分性。,则有,必要性。,例1.3.1 设,例1.3.2：,证：,充分性显然。,下证必要性，,设,于是,由于 ，,故 。,多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么,问题：,多项式的整除性不因数域的扩大而改变,结论：,证：,这一等式仍然成立。,1.4 多项式的最大公因式,一、两个多项式的最大公因式,定义1：,若,的一个公因式。,定义2：,问题：,1、如何求两个多项式的最大公因式？,2、最大公因式是否唯一？,引理：,若,与,公

10、因式和最大公因式。,证：,反之同样成立。,进行如下的辗转相除：,（1.4.1）,当进行到某一步时，余式为0。,于是得,定理1.4.1：,后得一系列等式（1.4.1），则,的最大公因式为 。,定理1.4.2：,中任意两个多项式,由于余式的次数不断降低，而,证明：,1、若,显然有,任意。,3、若,使,则由定理1.4.1知，经辗转相除后可求出它们的最,则有,即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。,例1.4.1：,设,使,解：（利用辗转相除法）,二、两个多项式互素,若,定义3：,定理1.4.5：,的充要条件是存在,使,多项式互素的性质。,性质1：,若,则,证：,性质2：,则,证：,性质3：,则,证：,

11、代入上式即知,三、多个多项式的情况,定义4：,设,的公因式，,则,性质1、,使 。,性质3、若,例1.4.2 设,互素，但 。,性质5、,注意：,1.5 多项式的分解,在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再分下去？,这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。,这样的因式称为平凡因式。,我们感兴趣的是，除了平凡因式外，,还有没有其他的因式？,定义1.5.1,等价定义：,在数域F上可约。,由定义可得：, 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。,性质,性质1,性质2,则

12、,证：设,证：,由性质2，,推论：,二、因式分解,问题：,是否可分解为,不可约多项式的乘积？,定理1.5.1：,证（归纳法）：,n=1时，命题显然成立。,假设命题对一切小于n的多项式成立，则当,时，,多项式的乘积。,问题：,则,定理1.5.2：,中任一个次数大于零的多项式,分解成不可约多项式的乘积：,成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两,个分解式：,则有 r=s；,）,证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：,当r=1时，结论显然成立。,由归纳假设知，这时有r-1=s-1。,故r=s，且,三、标准（典型）分解式,故,首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，,首项系数,每个多项式的

13、标准分解式是唯一的。,利用多项式的标准分解式可以判断一个多项,式是否整除另一个多项式。,利用多项式的标准分解式可以直接写出,例如：,则,解：,即有 。,例1.5.2：,求,在,上的标准分解式。,解：,在Q上：,在R上：,在C上：,例1.5.3：在R上分解,解：,1.5 重因式,定义1：,不可约多项式,称为,的k重因式,如果,而 。,重。,要求,的重因式，只要把,式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项,的标准分解,式分解为不可约因式的乘积。,因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。,定义2：,的一阶导数指的是多项式：,（形式定义）,多项式, ,的

14、k阶导数记为,多项式的求导法则：,1、,2、,3、,4、,定理1.6.1：,若不可约多项式,是,的k重因式（k1），则,是,式，特别多项式,的单因式不是,式。,证：,的k-1重因,的因,推论1：,证：, ,推论2：,证：必要性由推论1立得。,推论3：,推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以利用辗转相除法得到。,在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多项式有没有重因式。,由定理1得：,故,于是：,例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式,在Q上的标准分解式。,解：,利用辗转相除法求得：,由于,问题：,1.7 多项式函数与多项式的根,一、多项式函数,F中的根或零点。,作映射f：,

15、为F上的多项式函数。,若,则,二、余式定理和综合除法,证：由带余除法：设,则 。,问题1、,有没有确定带余除法：,设,中展开后比较方程两边的系数得：,于是得,的商式和余式。,解：由综合除法,因此,1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；,的方幂和。,定理1.7.2（因式定理）：,证明：设,以利用综合除法来判断其余数是否为零。,三、多项式的根,的一个k重根。,有重根？,有重因式，但反之不对。,定理1.7.3（根的个数定理）：,证明（用归纳法）：,证二：对零次多项式结论显然成立，,数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不,定理1.7.4：,的值相等，则 。,证明：,令,问题3、,是F中任意

16、n个数，能否确定一个n-1次多项,作函数,则,这个公式也称为Lagrange插值公式。,例1.7.3：求一个次数小于3的多项式,使 。,解一（待定系数法）：设所求的多项式,由已知条件得线性方程组：,解之得,解二（利用Lagrange公式）：,利用Lagrange插值公式可得：,问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？,四、多项式相等与多项式函数相等的关系,多项式相等：即,对应项的系数相同；,多项式函数相等：即,定理1.7.5：,相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等。,证明：,相同，于是对,故这两个多项式函数相等；,令,此即 。,1.8 复数域和实数域上的多项式,

17、一、C上多项式,那么它在C上是否有根？,每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。,定理1.8.1（代数基本定理）：,任何n（n0）次多项式在C上有n个根（重根按重数计算）。,定理1.8.2：,当n=1时结论显然成立。,证：,假设结论对n-1次多项式成立，则当,推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。,推论2：,上都能分解成一次因式的乘积，即,的标准分解式是：,韦达定理：,C上多项式的根与系数关系：,是一个n（n0）次多项式，则它在C中有n个根，记,（2）,比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，,得根与系数的关系为：,如果,根与系数的关

18、系又如何？,例1.8.1：,它以1和4为单根，-2为2重根。,求一个首项系数为1的4次多项式，使,解：设,则,二、实数域上的多项式,定理1.8.3：,证：设,故有,则有,因此多项式：,唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的,乘积。,假设对结论次数n的多项式结论成立，,现考虑,是一个二次实系数不可约多项式，且,不可约多项式的乘积，故结论成立。,推论3,推论4,n（n0）次实系数多项式,具有标准分解式：,不可约，即满足,在R上,例1.8.2：,的非零根，,解：,所求多项式是：,或,1.8 有理系数多项式,一、整系数多项式的可约性,定义1（本原多项式）：,例如：,本原多项式的加、减运算所得的未必

19、是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。,是本原多项式。,引理（高斯定理）：,两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。,证：,设,都是本原多项式,现考虑,定理1.9.1：,证：充分性显然。,下证必要性。,于是,故p=1，从而rs是一个整数。,C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。,问题：,定理1.9.2（Eisenstein判别法）：,若存在素数p，使,证（反证法）：,若,在Q上可约,在Z上可约，,即存在：,使,其中,但两者不能同时成立。,即,现考虑,但p能整除其它项，故,

20、由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式。,例1.9.1：,是Q上不可约多项式，p是素数。,在Q上是否可约？,解：分别取p=2, p=3即知。,解：取素数p即知。,Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件，但不是必要条件。,注意：,例：,不可约，但找不到素数p。,也是本原的。,二、整系数多项式的有理根,定理1.9.3：,设,则,证：,有一次因式,即,（2）设,是整数。,的有理根只能是 。,定理1.9.4：,证：由,1.10 多元多项式,前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元多项式，如,下面简单介绍有关多元多项式的一些

21、概念。,如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和,就称为n元多项式，简称多项式，,和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相等，相加、相减、相乘。,相等：,如果F上两个n元多项式有完全相同的项（或者只差一些系数为零的项），则称这两个多项式是相等的。,相加：,例如：,设,则f与g的和是,相减：,设,把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式叫做g的负多项式，记为,相乘：,例如,则,这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设,则,（加法结合律）,（加法交换律）,（乘法结合律）,（乘法交换律）,（乘法分配律）,的多项式环，

22、记作,同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。,设,对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数，记为,设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系：,1、,2、,结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。,每一类单项式（1）都对应一个n元数组,为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。,考虑,

23、而,记为,例如，对多项式,按字典排列法写出来就是：,应该注意的是，,把一个多项式按字典排列法书写后，次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而,关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到,定理1.10.1：,证明：,的首项为,为了证明它们的积,为fg的首项，,只要证明数组,先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。,其中,于是,推论1.10.1：,推论1.10.2：,现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来，,则称f是一个k次齐次多项式，简称k次齐次。,例如,就是一个4次齐次多项式。,两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它

24、的次数就等于这两个多项式的次数之和。,任何一个m次多项式,都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即,是i次齐次多项式，,若,就是f的一个i次齐次成分。,数域F上两个不等于零的n元多项式的,乘积的次数等于这两个多项式次数的和。,定理1.10.2：,证明：,它们的次数分别为m和s，把f与g分别写成齐次多项式的和：,于是,由推论1.10.2：,且是一个m+s次齐式，,其余各项,或者等于零，或者是一个次数低于m+s的齐式。,因此,同一元多项式一样，F上n元多项式与多项式函数是相同的。,就得到数域F中一个确定的数，称为,如果,由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数。,对,作映射：,的值。,设,如果,则对,都有,这说明相等的多项式确定相同的多项式函数。,下面证明其反面也成立。,定理1.10.3：,设,如果对任意,证明思路：,这里,任意取定,代入得,已知对,有,取,则有,由于定理对一元多项式成立，故