高中数学 7.6《数列的通项求法》学案1（教师用） 新人教A版必修5（通用）

1、7.6数列的通项求法一、学习目标：掌握求数列通项公式的常用方法二、自主学习：【课前检测】1等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，。求数列的通项公式。解：设数列公差为成等比数列，即， 由得：，2已知数列的前项和满足。求数列的通项公式。解：由当时，有，经验证也满足上式，所以3已知数列中，且，其前项和为，且当时，（）求证：数列是等比数列；（）求数列的通项公式。解：（）当时， 化简得， 又由，可推知对一切正整数均有， 数列是等比数列 （）由（）知等比数列的首项为1，公比为，当时，又，【考点梳理】通项公式的求法（7种方法）1.定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：直接利用等差数列或等比数列的

2、定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。2.公式法：在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为： (数列的前n项的和为).3.构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能

3、构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.4.归纳猜想证明法解法：数学归纳法5已知数列前项之积Tn，一般可求Tn-1，则an（注意：不能忘记讨论）.如：数列中，对所有的都有，则_.6.由递推式求数列通项类型1 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。类型2 （1）递推

4、公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。（2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有， ，依次向前代入，得，这就是叠（迭）代法的基本模式。类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。7.周期数列解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。（一）数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式三、合作探究：题型1 周期数列例1 若数列满足，若，则=_。答案：。变式训练1 （2020，湖南文5）已知数列满足，则=（ B ）A0 B

5、 C D小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。题型2 递推公式为，求通项例2 已知数列，若满足，求。答案：变式训练2 已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.题型3 递推公式为，求通项例3 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，变式训练3 已知， ，求。解： 。小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.题型4 递推公式为（其中p，q均为常数，），求通项例4 在数列中，当时，有，求的通项公式。解法1：设，即有，对比，得，于是得，数列是以为

6、首项，以3为公比的等比数列，所以有。解法2：由已知递推式，得，上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。变式训练4 在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_2n+1-3_.小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用做差法直接构造，两式相减有，所以是公比为的等比数列。也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.题型5 构造法：1）构造等差数列或等比

7、数列例5 设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项.解：， ，. 即是以2为公差的等差数列，且.变式训练5 数列中前n项的和，求数列的通项公式.解：当n2时，令，则，且是以为公比的等比数列，.小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.题型6 构造法：2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式。例6 设是首项为1的正项数列，且，（nN*），求数列的通项公式an.解：由题设得.，.题型7 构造法：3）构造商式

8、与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例7 数列中，前n项的和，求.解： ，题型8 构造法：4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.例8 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则是以2为公比的等比数列，.，变式训练5 已知数列中，n2时，求通项公式.解：，两边取倒数得. 可化为等差数列关系式. 题型9 归纳猜想证明例9 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式 解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1 ()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0 当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10 由()知S1a1，S2a1a2 由可得S3 由此猜想Sn，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立 (ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由