平面汇交力系（解析法）

1、21 平面汇交力系（解析法）,21 平面汇交力系 （解析法）,静力学,1、力在坐标轴上的投影 2、合力投影定理 3、平面汇交力系的平衡条件,学习内容及目标,如下图，在直角三角形中a为角A的对边 b为角A的邻边 c为三角形的斜边,锐角三角函数定义,正弦,余弦,(1)sin300等于多少?,300,600,450,450,(2)cos300等于多少?,(3)sin450,sin600等于多少?,(4)cos450,cos600等于多少?,洞察力与内秀,特殊角的三角函数值表,要能记住有多好,这张表还可以看出许多知识之间的内在联系呢?,3.力的投影,定义：过F两端向坐标轴引垂足A、C和A、D，线段AC

2、、AD分别为F在X轴和Y轴上投影的大小。,大小计算： X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin,正负规定：从A到C（或从A到D）的指向与坐标轴的正向相同为正，相反为负,投影和分力关系：如将F沿坐标轴方向分解，所得分力 、 的值与F在同轴上的投影X、Y相等；力的分力是矢量，力的投影是代数量,F1=100N,F2=200N F3=300N,F4=400N 试分别计算各个力在X轴和Y轴上的投影,解：根据投影公式，列表计算如下,4.合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,即：,静力学,当已知汇交力系在坐标轴

3、上的投影分别为X1、X2 、Xn与Y1、 Y2、Yn时，可用合力投影定理求解合力R的大小和方向：,例2 如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知,三力均通过圆心。试求 此力系合力的大小和方向 （运用几何法和解析法）,解：运用两种方法求解合力。 （1）几何法 取比例尺为：1cm代表10kN，画力多边形如图所示。从起点a向终点d作矢量，即得合力R。由图上量得，ad=4.4cm，根据比例尺可得，R=44kN；合力R与水平线之间的夹角用量角器量得=,（2）解析法 取如图所示的直角坐标系，则合力的投影分别为：,则合力R的大小为：,由于 0， 0，故在第一象限，而合力R的作用线通过汇交力系的汇交点。

4、,合力R的方向为：,二、平面汇交力系的平衡,得平面汇交力系的平衡方程,两个独立的平衡方程只能求解两个未知数 。,解题步骤： 确定研究对象，作研究对象的受力图； 选定坐标系； 列平衡方程并求解。 指向假设的未知力，若按平衡方程求得正值，说明其实际方向与假设的相同；若为负值，则说明其实际方向与假设的相反，但不需要改变受力图中的指向。,例 图示吊车架，已知P=10KN，求各杆受力大小。,静力分析,解：,1、研究对象：,整体,或铰链A,A,60,2、几何法：,60,SAC=P/sin600,SAB=Pctan600,静力分析,3、解析法：,Rx=X=0,SAC cos600 SAB = 0,Ry=Y=

5、0,SAC sin600 P = 0,解得：,SAC=P/sin600,SAB= SAC cos600,例题 如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 P ,设P = 20kN。 求支座A和D的约束反力。,RD,RA,解: 1、取平面钢架ABCD为研究对象, 画出受力图。,2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：,cos = 0.89 sin = 0.447, X = 0,P +RA cos = 0,RA = - 22.36 kN, Y= 0,RA sin +RD = 0,RD =10 kN,4m,2m,负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。,3、列平衡方程并求解：,TBD

6、=G,例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。,解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：,TBD=G, Y = 0, X = 0,FAB = 45 kN,- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0,TBC = 9.65 kN,- TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0,2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：,3、列平衡方程并求解：,300,解题步骤： 确定研究对象，作研究对象的受力图； 选定坐标系； 列平衡方程并求解。 指向假设的未知力，若按平衡方程求得正值，说明其实际方向与假设的相同；若为负值，则说明其实际方向与假设的相反，但不需要改变受力图中的指向。,静力学,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或