第三章 几种常见的概率分布律

1、第三章 几种常见的概率分布律,生物科学与食品工程学院 南国辉,2,本章内容,二项分布 泊松分布 另外几种离散型概率分布 正态分布 另外几种连续型概率分布 中心极限定理,3,教学要求,掌握二项分布、泊松分布的实际应用。 掌握正态分布的特性，正态分布概率值的计算。 理解中心极限定理。 了解其它几种概率分布律。,4,第一节 二项分布,一、二项分布的概率函数 应用条件： 每次试验都有两种不同的结果； 每一种结果在每次试验中都有恒定的概率； 试验之间应是独立的。,下页,5,n-试验次数（或样本含量） y-在n次试验中事件A出现的次数 -事件A发生的概率（每次试验都是恒定的） 1- 事件 发生的概率 p(

2、y)-y的概率函数=P(Y=y) F(y)= P(Yy)=,例3.1 从雌雄各半的100只动物中，每次抽一只，做放回式抽样，若抽样试验共进行10次，问其中包括0，1，2，3只雄性动物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？,7,杨辉三角 n 系数 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 +（1- ）5=5 +54 （1- ） +103 （1- ）2 +10 2 （1-）3 +5 （1-）4 +（1- ） 5,8,例：一对夫妻有四名子女，请问其子女的组合方式为一女三男的概率是多少，两女两男的概率是多少？四名子女有多少种

3、组合方式？每种组合方式的的比例如何？,9,二、服从二项分布的随机变量的特征数 平均数 方差 偏斜度 峭度,10,二、服从二项分布的随机变量的特征数 平均数,11,二、服从二项分布的随机变量的特征数 平均数 方差,12,例1：豌豆的红花纯合基因型和白花纯合基因型 杂交后，在F2代红花植株与白花植株出现的比率为 ：，若每次随机观察株，问得红花为株， 株，株，株和株的概率各是多少？红花为株， 株，株，株和株的比例是多少? 例2：某小麦品种在田间出现自然变异植株的概率 为0.0045，试计算（1）调查100株，获得两株 或两株以上变异植株的概率是多少？（2）期望有 0.99的概率获得1株或一株以上的变

4、异植株，至少 应调查多少株？,13,第二节 泊松分布,二项分布,泊松分布, 特别小，样本含量n很大，并且n =,14,一、泊松分布的概率函数 二、服从泊松分布的随机变量的特征数 平均数与方差相等 即2=m,15,一、泊松分布的概率函数,16,二、服从泊松分布的随机变量的特征数 平均数与方差相等 即2=m,17,三、泊松分布应用实例 Poisson分布主要用于描述在单位时间(空间)中 稀有事件的发生数。例如： 1. 放射性物质在单位时间内的放射次数； 2. 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； 3. 野外单位空间中的某种昆虫数等。,18,例：为监测饮用水的污染情况，现检验某社区每毫升饮用水中细菌数

5、，共得400个记录如下： 试分析饮用水中细菌数的分布是否服从泊松分布， 若服从，按泊松分布计算每毫升水中细菌数的概率。,计算 = 0.1，0.2，1，2，5时，泊松分布的1和2，绘制概率分布图并做比较。,20,第三节 另外几种离散型概率分布,一、超几何分布 1、概率函数 2、平均数 3、方差 二、负二项分布,第四节 正态分布,22,第四节 正态分布,正态分布：两头少，中间多，两侧对称。 一、正态分布的密度函数和累积分布函数 正态分布密度函数,特别： ，则称Y服从标准正态分布，记为N(0,1),N(,2),正态分布的累积分布函数,24,随机变量y的值落入任意区间(a,b)的概率 累积分布函数,2

6、5,26,正态分布的特性,当y=时，f(y)有最大值，正态分布曲线是以平均数为中心的分布。 当y不论向哪个方向远离时， f(y)的值都减小，但永远不会等于0，正态分布以y轴为渐近线， y的取值区间（-，+）。 当y-的绝对值相等时， f(y)也相等，正态分布是以为中心向左右两侧对称分布。 正态分布曲线完全由参数和决定。 描述正态分布的集中趋势的位置， 描述正态分布离散程度。不同参数的正态分布曲线,27,不同参数的正态分布曲线,28,不同参数的正态分布曲线,29,正态分布的特性,正态分布曲线在y=处各有一拐点，曲线通过拐点时改变弯曲度。 靠近 y=处曲线下面积较为集中，两边减少，意味着正态分布变

7、量取值靠近 y=处的概率较大,两边逐渐减少 正态分布曲线下的面积等于1。 特殊值：f ()=0.6827 f (2)=0.9543 f (3)=0.9973,30,正态分布曲线下的特殊位置的面积,31,二、标准正态分布N(0,1),=0，=1 密度函数： 累积分布函数,32,标准正态分数的密度曲线,累积分布曲线,33,标准正态分布的特性,当u=0时，(u)达到最大值。 当u不论向哪个方向远离0时，(u)的值都减小。 曲线两侧对称，即(u)= (-u) 曲线在u=-1和u=1处各有一拐点。 累积分布函数图形的特点：曲线在-处从0平稳上升，围绕（0，0.5）对称。,标准正态分布的累积分布函数(u)

8、的值，可从 数值表查询，意义：表示随机变量U落入区间（- ，u）的概率。 查表： (-1.15) = ？ (2.37)= ？,下一页,35,标准正态分布曲线下面积 表、图,36,三、正态分布的概率计算,标准正态分布,37,标准正态分布的概率计算,如：设y服从标准正态分布，求概率 P(y0.3) 。 解：标准正态分布关于y=0对称，所以 P(y0.3)=P(y-0.3)=,38,标准正态分布的概率计算,例：设y服从标准正态分布，求概率P(-1.83 y -0.3) 。 解：即求标准正态分布曲线下在（-1.83，-0.30）范围内的面积,39,另外：u=（-1.960，1.960）， (u)= 0

9、.9500 u=（-2.576，2.576）， (u)= 0.9900,40,先将其转换成标准正态分布，再查表计算。 例：已知7岁男孩身高Y服从正态分布N(121.9，4.52)，试估计（1）116.7Y119.1的概率；（2） 116.7Y130.0的概率,非标准正态分布的概率计算,41,非标准正态分布的概率计算,作标准化变换： Y=116.7 Y2=119.1,42,非标准正态分布的概率计算,7岁男童的身高界于116.7cm 到119.1cm的概率为 问题：同上，但求身高界于116.7cm 到130.0cm的概率。 解：用标准化变换，得到u1=-1.16, u2=1.8,43,非标准正态分

10、布的概率计算,计算概率为,44,四、正态分布的临界值,上侧临界值 P(Uua)=a 下侧临界值 P(Uu2/a)=a,45,例1：求a=0.060时各种临界值 例2：已知随机变量Y服从正态分布N(0,52),求y0使得 P(Y y0)=0.025, P(Y y0)=0.01 P(Y y0)=0.95 ，P(Y y0)=0.90,46,第五节 另外几种连续型概率分布,一、指数分布 密度函数： 分布函数： 特征数：E(X)=,=,1=2,2=6,47,二、分布,密度函数 (p)的定义 特征数,48,第六节 中心极限定理,中心极限定理：研究随机变量和的极限分布是正 态分布的一类定理。 基本内容：假设被研究的随机变量Y可以表示为