9.1 直线的方程.ppt

1、解析几何,直线的方程,基础知识 自主学习,要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴 与直线l 方向之间所成的角 叫 做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 .,倾斜角的范围为 .,正向,向上,0 180,0,(2)直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角 的 叫做这条 直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= ， 倾斜角是90的直线斜率不存在. 过两点的直线的斜率公式 经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1x2)的直线 的斜率公式为k=,正切值,tan,基础自测 1.过点M（-2，m），N

2、（m，4）的直线的斜率等 于1，则m的值为 （ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 解析 kMN= =1，m=1.,A,2.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（ ） A.（18，8），（4，-4） B.（0，0），（ ，1） C.（0，-1），（3，2） D.（-4，1），（0，-1）,解析 对A过两点的直线斜率 对B过两点的直线斜率 对C过两点的直线斜率 对D过两点的直线斜率 过D中两点的直线的倾斜角是钝角. 答案 D,2.直线方程的五种形式,3.过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程 （1）若x1=x2,且y1y2时，直线垂直于x轴，方程 为 ; (2)若x1x2,且

3、y1=y2时，直线垂直于y轴，方程为 ; (3)若x1=x2=0，且y1y2时，直线即为y轴，方程 为 ; (4)若x1x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程 为 .,x=x1,y=y1,x=0,y=0,4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x,y）， 则 ，此公式为线段P1P2的中点 坐标公式.,3.下列四个命题中，假命题是 （ ） A.经过定点P（x0，y0）的直线不一定都可以用 方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2） 的直线都可以用方程(y-y1)(x

4、2-x1)= (x-x1)(y2-y1)来表示 C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方 程 表示 D.经过点Q（0，b）的直线都可以表示为y=kx+b 解析 A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B 正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直 线，故也正确；D不能表示斜率不存在的直线， 不正确.,D,4.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0 不通过 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由题意知ABC0. 直线方程变为y=- x- ， AC0，BC0，AB0， 其斜率k=- 0,在y轴上的截距b=- 0, 直线过第一、二、四象限.,C,5.一条直线

5、经过点A（-2，2），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 解析 设所求直线的方程为 A（-2，2）在直线上， 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， |a|b|=1 ,由可得 由（1）解得 方程组（2）无解. 故所求的直线方程为 即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程. 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0,题型一 直线的倾斜角 【例1】 若 ，则直线2xcos +3y+1=0 的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D.,题型分类 深度剖析,思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的 范围，再确定倾斜角范围. 解析 设直线的倾斜角为 ,则

6、tan =- cos , 又 ，0cos , cos 0 即- tan 0,注意到0 , . 答案 B,探究提高 （1）求一个角的范围，是先求这个角 某一个函数值的范围，再确定角的范围. （2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一 个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得 到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余 弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的 是消去变量 得到。,题型二 直线的斜率 【例2】 已知直线l过点P（-1，2），且与以 A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交， 求直线l的斜率的取值范围. 分别求出PA、PB的斜率，直线l处 于直线PA、PB之间，根据斜率的几

7、何意义利 用数形结合即可求. 解 方法一 如图所示，直线PA的 斜率 直线PB的斜率,思维启迪,当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC 时，它的斜率变化范围是5，+）； 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜 率的变化范围是 直线l的斜率的取值范围是 方法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0. A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上， （-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）0，,即（k-5）（4k+2）0，k5或k- . 即直线l的斜率k的取值范围是 5，+）. 方法一 运用了数形结合思想.当直线 的倾斜角由锐角变到

8、直角及由直角变到钝角时， 需根据正切函数y=tan 的单调性求k的范围，数 形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图 形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快 捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示 的平面区域的性质使问题得以解决.,探究提高,题型三 求直线的方程 【例3】 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距 相等； （2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 选择适当的直线方程形式，把所需要 的条件求出即可. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， l的

9、方程为y= x，即2x-3y=0.,思维启迪,若a0，则设l的方程为 l过点（3，2）， a=5，l的方程为x+y-5=0, 综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3- ,令x=0,得y=2-3k, 由已知3- =2-3k，解得k=-1或k= , 直线l的方程为 y-2=-（x-3）或y-2= (x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.,（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为2 . tan =3,tan 2 = 又直线经过点A（-1，-3），

10、因此所求直线方程为y+3=- (x+1), 即3x+4y+15=0.,探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况.,知能迁移1 直线xsin -y+1=0的倾斜角的变化范 围是 （ ） A. B.(0,) C. D. 解析 直线xsin -y+1=0的斜率是k=sin , 又-1sin 1，-1k1， 当0k1时，倾斜角的范围

11、是 ； 当-1k0时，倾斜角的范围是 .,D,知能迁移2 已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直 线l：y=k（x-2）+1 与线段AB相交，则k的取值范围是 （ ） A.k B.k-2 C.k 或k-2 D.-2k 解析 由已知直线l恒过定点P（2，1），如图. 若l与线段AB相交， 则kPAkkPB， kPA=-2，kPB= ， -2k .,D,知能迁移3 求下列直线l的方程： （1）过点A（0，2），它的倾斜角的正弦值是 ； （2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半； （3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与 2x-3y-2=0的交点. 解

12、 （1）设直线l的倾斜角为 ， 则sin = ,tan = , 由斜截式得y= x+2, 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.,（2）设直线l和l1的倾斜角分别为 、 ， 则 解得tan =3或tan =- （舍去）. 由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0. （3）解方程组 即两条直线的交点为（-5，-4）. 由两点式得 即5x-7y-3=0.,题型四 直线方程的应用 【例4】 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y 轴正半轴于A、B两点，求使： （1）AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|PB|最小时l的方程. 先求出AB所在的直线方程，再求出A， B两点的坐标

13、，表示出ABO的面积，然后利用 相关的数学知识求最值.,思维启迪,解 方法一 设直线的方程为 当且仅当 ,即a=4,b=2时，SAOB取最 小值4， 4分 此时直线l的方程为 6分,1分,3分,当且仅当a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3时，|PA|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 12分,8分,10分,方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于 当且仅当-4k=- ,即k=- 时取最小值，此时直 线l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0. 6分,1分,3分,（2）|PA|PB|= 10分 当且仅当 =4k

14、2,即k=-1时取得最小值,此时直 线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分 求直线方程最常用的方法是待定系数 法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点 斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理成章，而 方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独 特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决 问题的能力.,探究提高,知能迁移4 已知直线l:kx-y+1+2k=0 (kR). （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的 方程. （1）证明 直线l的方程是：

15、k（x+2)+(1-y)=0, 无论k取何值，直线总经过定点（-2，1）.,（2）解 由方程知,当k0时直线在x轴上的截距为 ,在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过 第四象限， 则必须有 解之得k0; 当k=0时，直线为y=1,符合题意，故k0.,（3）解 由l的方程，得 依题意得,方法与技巧 1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值 范围，熟记斜率公式：k= ，该公式 与两点顺序无关，已知两点坐标（x1x2）时， 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直 线的倾斜角为90.,思想方法 感悟提高,2.求斜率可用k=tan （ 90），其中

16、 为倾 斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇 到斜率要谨记，存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系 数法. 4.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线 上设一任意点P（x，y），再找出x，y的一次关 系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直 线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.,失误与防范 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在； 每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存 在斜率. 2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围； 二是要考虑正切函数的单调性. 3.

17、利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量为 （-B，A）不可记错，但同时注意方向向量是不 唯一的. 4.利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三 种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求 出垂直于x轴的直线方程.,一、选择题 1. 直线l经过A（2，1）、 B（1，m2） （mR）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 （ ） A.0， ） B. C. D. 解析 k= =1-m21,又k=tan ,0 , 所以l的倾斜角的取值范围为,定时检测,D,2.直线l1:3x-y+1=0，直线l2过点（1，0），且它的 倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为 （ ） A.y=6x+1 B.

18、y=6(x-1) C.y= (x-1) D.y=- (x-1) 解析 由tan =3可求出直线l2的斜率 k=tan 2 = 再由l2过点（1，0）即可求得直线方程.,D,3.若直线（2m2+m-3）x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的 截距为1,则实数m是 ( ) A.1 B.2 C. D.2或 解析 当2m2+m-30时, 在x轴上截距为 =1,即2m2-3m-2=0， m=2或m= .,D,4.直线x+(a2+1)y+1=0 (aR)的倾斜角的取值范围 是 （ ） A. B. C. D. 解析 斜率k=- -1,故k-1，0）， 由图象知倾斜角 ,故选B.,B,5.直线ax+y+1=0

19、与连结A（2，3）、B（-3，2）的 线段相交，则a的取值范围是 （ ） A.-1，2 B.（-，-1）2，+） C.-2，1 D.（-，-21，+） 解析 直线ax+y+1=0过定点C（0，-1），当直 线处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，应满 足-a 或-a ，即a-2或a1.,D,6.已知直线x=2及x=4与函数y=log2x图象的交点分别 为A，B，与函数y=lg x图象的交点分别为C，D， 则直线AB与CD （ ） A.相交，且交点在第象限 B.相交，且交点在第象限 C.相交，且交点在第象限 D.相交，且交点在坐标原点 解析 易知A（2，1），B（4，2），原点 O（0，0），

20、 kOA=kOB= .直线AB过原点. 同理C（2，lg 2），D（4，2lg 2），kOC=kOD= 直线CD过原点，且与AB相交，故选D.,D,二、填空题 7.过两点A（m2+2，m2-3），B（3-m-m2，2m）的 直线l的倾斜角为45，则m的值为 . 解析 由题意得： 解得：m=-2或m=-1. 又m2+23-m-m2,m-1且m ,m=-2.,-2,8.若经过点P（1-a,1+a）和Q（3，2a）的直线的倾 斜角为锐角，则实数a的取值范围是 . 解析 由条件知直线的斜率存在，由公式得 因为倾斜角为锐角，所以k0， 解得a1或a-2. 所以a的取值范围是a|a1或a-2.,（-,-2）(1,+),9.直线y= x关于直线x=1对称的直线方程是