几何概型（优质课）

1、（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性) （2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）,我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.,复习,1.古典概型,2.古典概型的概率公式,P(A)=,A包含的基本事件的个数,基本事件的总数,练习题：在0至10中，任意取出一整数， 则该整数小于5的概率.,3.3.1 几 何 概 型,问题2（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?,问题1：在0至10中，任意取出一实数， 则该数小于5的概率.,定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

2、长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。,特征：,（1）、无限性：基本事件的个数无限,（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同,几何概型的概率公式：,有限性,等可能性,几何概型,古典概型,等可能性,无限性,1.下列概率问题中哪些属于几何概型？（口答） 从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的概率。 箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ 随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上的概率。 在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?,（

3、1）（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型,课堂练习,2.（1）在区间0，10上任意取一个整数x， 则x不大于3的概率为： . （2）在区间0，10上任意取一个实数x， 则x不大于3的概率为： .,正确区分古典概型与几何概型,课堂练习,解：由题意可得,故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：,设 “剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。,则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生,3m,1m,1m,1.长度问题,1、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？,析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何

4、一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：,练习1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。,2、角度问题,2、在直角坐标系中，射线OT落在60度的终边上， 任作一条射线OA，求射线OA落在XOT内的概率。,解：记B=射线OA落在XOT 所以P（B）=,练习2.如图在圆心角为900的扇形中,以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和BOC都不小于300的概率。,解析： 记F=作射线OC,使得AOC和BOC 都不小于300 ，作射线OD 、OE 使AOD 300, AOE 600,3、取一个边长为

5、2a的正方形及其内切圆，如图，随机地向正方形丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。,解：记“豆子落入园内”为事件A. 则事件A发生的可能性等于,所以，豆子落入园内的概率为,3.面积问题,B. C. D. 无法计算,B,练习3.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 则阴影区域的面积为 ( ),4、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.,4.体积问题,则：基本事件为体积为1升的水， 事件A体积为0.1升的水,故事件A发生的概率为：,解：设 “取出的0.1升水 中含有细菌”

6、为事件A。,(1)、已知棱长为2的正方体中有一内切球O, 若在正方体内任取一点，则这一点不在球 内的概率为_.,(2)、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球， 假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求 这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.,练习4：,5: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,问题1：如果用X表示报纸送到时间,用Y表示父亲离家时间,请问X与Y的取值范围分别是什么？,问题2：父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问x与y 除了要满足上述范围之外，

7、还要满足什么关系？,5.会面问题,5: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,问题3：这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与什么有关系？长度、面积、还是体积？,问题4：怎么求总区域面积？怎么求事件A包含的区域面积？,我们画一个与x、y有关系的图像,5: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,解：设送报人到达

8、的时间为x,父亲离开家的时间为y,试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD,事件A包含的区域为阴影部分,S阴影部分=,这是一个几何概型,则，P(A)=,练习5：甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。,解：以x,y分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0 x5,0y5.,两人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,记“两人会面”为事件A,古典概型,几何概型,相同,区别,求解方法,有限性,等可能性,等可能性,无限性,课堂小结,几何概型的概率公式.,列举法,几何测度法

9、,用几何概型解决实际问题的方法.,(1)选择适当的观察角度，转化为几何概型.,(2)把基本事件转化为与之对应区域的 长度（面积、体积）,(3)把随机事件A转化为与之对应区域的 长度（面积、体积）,(4)利用几何概率公式计算,课堂小结,1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯 的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，你看到黄灯的概率是 多少_.,2、在单位圆O的一条直径MN上随机地取一点Q， 过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率是_.,课堂练习,3.假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站， 问等车时间不超过3分钟的概率？,4.如图,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将

10、其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（ ） A一样大 B. 黄、红区域大 C. 蓝、白区域大 D. 由指针转动圈数确定,C,5、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机, 想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,解:设A=等待的时间不多于10分钟.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为1/6,6.在区间1,3上任取一数,则这个数大于1.5的 概率为 ( ) A.0.25 B.0.5 C.0.6

11、D.0.75,D,7.在RtABC中,A=30,过直角顶点C作射线CM交 线段AB于M,求|AM|AC|的概率.,8.在等腰直角ABC中,在斜边AB上任取一点M, 求使ACM为钝角三角形的概率.,9、分别在区间1,6和2,4内任取一实数， 依次记为m和n，则 的概率为_ .,10.设在区间0，2中随机地取两个数， 求下列事件的概率. (1)两个数中较大的大于1/2； (2)两数之和大于3/4.,11.甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，他们可能在某 一天的任意时刻到达，设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间 分别为3小时和5小时。 求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。,解析：设甲、乙到达时刻分别

12、为x点、y点,12.已知一线段的长度为10，则： （1）任取一点将线段分为两段，求在两段的 差的绝对值在6，8间的概率；,解析：1）如图,解：设线段被分为三份， 长度分别为x、y、10-(x+y) 三边构成三角形,12.已知一线段的长度为10，则： （2）任取两点将线段分为三段，求这三段可以 构成三角形的概率。,2：在等腰直角ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.,1：在等腰直角ABC中,过直角顶点C任作一条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率.,思考,【1】在等腰RtABC中,过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM,与线段AB交与点M,求AMAC的概率.,解:在ACB内的射