CFD-方程讲解.ppt

1、CFD 方程,第一章,May 15, 2001 Inventory #001478 1-2,Navier-Stokes 方程, 质量守恒, 能量方程,方程的定义 连续方程 应力应变关系 方程的形式 重要的性质 无量纲参数 无量纲方程 能量方程 无量纲能量方程 参照的旋转框架 涡流,May 15, 2001 Inventory #001478 1-3,通常用矢量和张量符号使方程描述更紧凑。有时, 在一个方程中对不同的项用不同的符号表示更方便. 表达连续方程的一些方式 (质量守恒): 标量方程: U,V,W 为正交的x,y,z方向的速度 矢量形式: V 是速度矢量,质量守恒（及符号.),May 1

2、5, 2001 Inventory #001478 1-4,指标符号 - 重复的下标意味着对该项求和: ui 表示在三个 xi 方向的速度 在描述运输方程时，求导特别有用. 算子为: 使用它得到连续性的第四表达式:,质量守恒 (续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-5,对常密度: 这意味着在常性质流中，速度散度为零. 在计算流体力学中常以此检查精度或收敛性. 在算法中，通常将连续方程作为求解压力的一个环节。通常, 可以假设是 Navier-Stokes方程提供了与压力场相关的速度.,连续性的备注,May 15, 2001 Inventory #001478 1

3、-6,速度或速度梯度由压力梯度的某种方式来表述. 在这种情况下, 密度变化也必须由压力来表述. 引入体积模量: 于是 此项表示了声波传播的速度，K值越高, 声波传播越快.,备注 (续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-7,备注 (续),在该手册中，声速用与体积模量相似的表达式表示. . . 在FLOTRAN方法中，对于不可压缩的瞬态流其体积模量由用户指定: 当明确指定流体为可压缩时，其值由FLOTRAN据理想气体定理计算而来,May 15, 2001 Inventory #001478 1-8,Navier-Stokes 方程由对牛顿流（它的特征将在下面描述）

4、应用动量守恒得来 从由牛顿运动定理而来的动量方程开始 表示三个正交方向的三个方程 I=1,2,3 (比如直角坐标系的 x,y,z 方向) 体积力和表面力引起的加速度 矢量表达式,动量守恒,May 15, 2001 Inventory #001478 1-9,Navier-Stokes 方程中项的类型,加速度项: 非线性 嵌入连续方程 作为对流运输处理 体积力项: 重力 旋转坐标系 磁场影响,May 15, 2001 Inventory #001478 1-10,Navier-Stokes 方程中项的类型 (续),表面力项: 法向压力 (机械, 热动力) 剪应力 作为扩散项处理 Navier-S

5、tokes 方程即为动量方程对于牛顿流的表述 下面, 什么是牛顿流?,May 15, 2001 Inventory #001478 1-11,由Stokes (1845) 的三个假设得到下述牛顿流的描述: 1. 流体连续并各向同性 2. 应力张量是应变率的线性函数 3. 对零应变，变形法则简化为静压条件 最终关系为: 绝对粘性 粘性的第二系数 (很少考虑) 此关系式对所有气体和大多数流体有效.,牛顿流的应力应变关系,May 15, 2001 Inventory #001478 1-12,第二粘性系数的处理,目标: 去掉该烦人的项 1. 考虑流体不可压。这样, 连续性导致速度发散, 含 的项消失

6、. 2. 假设该项较小可被忽略 (激波附近可能不正确). 3. Stokes 假设. 基于热动力要求和机械压力一样. . .,May 15, 2001 Inventory #001478 1-13,机械压力是流体单元的平均压缩应力。这实际上就是张量不变量，它可在主应力方向表示为. 从主应力表达式: 得到: Stokes 假设假定在问题的远处. . .,第二系数 (续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-14,接着，看加速度项: 后两项为速度乘以连续方程，使它们消失. 得到的加速度项使方程更紧凑,Navier-Stokes方程,May 15, 2001 Inven

7、tory #001478 1-15,ALE 表述,上述动量方程（Navier-Stokes方程）所表述的网格均假设为固定. ALE 表述修改了动量方程以解决网格的运动问题. 对于瞬态流，结构间的相互作用问题随时间而变化，ALE 修改是必需的.,May 15, 2001 Inventory #001478 1-16,ALE 表述 动量方程,为反映网格的运动，NS控制方程必须被修改:,网格速度,May 15, 2001 Inventory #001478 1-17,方程的无量纲化,将方程带入前后相关方程. 这有助确定在给定流体条件和性质下哪一项是重要的,. 流体性质 参考条件 边界条件 无量纲参数

8、,May 15, 2001 Inventory #001478 1-18,将这些条件表达为参照条件的无量纲乘子.,流体基本性质, 密度 绝对粘性 第二粘性系数 热膨胀系数 S 表面张力 参照量: Vo 参照速度大小,k 热传导率 CP 定压比热 CV 定容比热 l 平均自由路径 o, o, To 参照值,May 15, 2001 Inventory #001478 1-19,将加速度项与粘性项相关联. 对动量忽略体力（比如重力），对“高速”气流这是合适的 雷诺数: Dh为内流的水力直径 :,基本性质 (续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-20,基本性质 (续

9、),外流的特征长度 机翼弦长 距翼沿的距离 雷诺数为对流（利用速度传输）与扩散传输的比率. 密度和粘性是相关流体性质 Dh 和 V 是问题的条件.,May 15, 2001 Inventory #001478 1-21,运动粘性是雷诺数运动表达式中唯一的性质 一些流体的运动粘性值 (meter2/sec) - 在20下 甘油5.0E-4煤油 2.5E-6 SAE30 油 2.5E-4水1.0E-6 SAE10 油 1.0E-4苯 7.0E-7 空气1.8E-5水银1.5E-7 原油1.0E-5 对给定条件, 运动粘性随雷诺数呈反比变化.,运动粘性,May 15, 2001 Inventory

10、#001478 1-22,无量纲化的参照条件,对密度和粘性取常数参考值. 选自由流动速度 Vo 和长度比例 L. 将距离、速度、压力、和流体性质与参照值相关联.,第一章的附录（即本章末尾）有其详细推导.,May 15, 2001 Inventory #001478 1-23,无量纲化的动量方程,雷诺数 RE 表示着对流和扩散对动量影响的相对强度. The Grashoff number Gr表示着浮力对动量影响的相对强度.,May 15, 2001 Inventory #001478 1-24,无量纲化能量方程,Pe 是雷诺数和普朗特数的乘积，它表示着对流热传输与扩散热传输的相对强度,Ecke

11、rt 数,May 15, 2001 Inventory #001478 1-25,Prandtl 数: 各种流体的 Prandtl 数: 水银0.024水7.0 氦0.70苯7.4 空气0.72普通酒精16 液氨2.0SAE30 油3500 氟利昂-123.7甘油12,000 甲醇6.8,能量方程 (续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-26,旋转坐标系,在常角速度旋转参照坐标系下的运动控制方程 这在旋转机械的分析中很有用 设 v 为流体中任一点关于旋转坐标系的相对速度，该旋转坐标系角速度为 用 r 表示该点相对于旋转坐标系原点的位置 旋转坐标系下的解必须先求

12、解相对于旋转坐标系的速度 由于向心和离心加速度可能很大，可能会产生数值困难 这导致修改压力变量，使其包含这些项.,May 15, 2001 Inventory #001478 1-27,旋转坐标系下常粘性动量方程的矢量形式为: 指标符号的通用方程为:,旋转坐标系下的方程,May 15, 2001 Inventory #001478 1-28,列式,旋转加速度将采用附加源项的形式 X、Y、Z空间的动量方程 集中于加速度项, XYZ 方向的剪应力为:,May 15, 2001 Inventory #001478 1-29,由于旋转产生的源项的幅值可能带来数值困难 附加项的离心部分可以代入前面定义的

13、压力项.,压力的进一步修改,May 15, 2001 Inventory #001478 1-30,在没有旋转时，修正的压力与前面定义的压力一样 对静止参照系: 对旋转参照系:,压力项的进一步修正 (续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-31,压力项的进一步修正 (续),用相对于旋转坐标系和修正压力的速度来表示的控制方程为:,May 15, 2001 Inventory #001478 1-32,一个旋转例子,在两个圆柱体之间形成的圆环里的流动 内圆柱旋转, 外圆柱静止. 目标: 计算在内壁的静压. 静止框架的边界条件 角速度1 - 逆时针方向 在内圆施加速度

14、幅值1 外壁静止; 压力为零,May 15, 2001 Inventory #001478 1-33,一个旋转例子 (续),旋转坐标系: 内圆柱体的速度为零 外壁顺时针方向速度为2 修正的压力必须加在外边界.,May 15, 2001 Inventory #001478 1-34,运动方程: 可行的如下简化: 连续方程得到:,两旋转圆柱体之间流动的精确解,May 15, 2001 Inventory #001478 1-35,在内外半径的径向速度为零 推导得各处速度梯度也为零 因而: 速度解为 :,求解 (续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-36,用此得到压

15、力解 压力方程为: 积分得: 从压力边界计算 C3.,求解 (续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-37,旋涡,有一个垂直于轴对称平面的分量的轴对称流动称为旋涡. 注意，在旋转圆柱体之间的流体的流动也做为旋涡处理!,VZ 垂直于这个平面,May 15, 2001 Inventory #001478 1-38,漩涡方程,当轴对称流动有方位角方向的流动分量时，就存在旋涡流动 在方位角方向，可通过带零梯度（速度、压力）的圆柱坐标系方便地描述 换句话说, 在轴对称方程中加一个旋涡分量 在煤矿应用中很有用，其流动有一个附加的旋转分量. 轴对称几何体旋转机器 (比如旋转轴

16、) 旋涡速度边界条件: 旋涡的进口分量 移动壁面 (旋转圆柱体),May 15, 2001 Inventory #001478 1-39,运动方程,与 无关的圆柱坐标系 旋转流动不影响 X-R 方向的解 旋涡分量放松了对其它分量的耦合 坐标系方向 r、z,May 15, 2001 Inventory #001478 1-40,动量方程,May 15, 2001 Inventory #001478 1-41,连续方程,May 15, 2001 Inventory #001478 1-42,内圆柱体旋转,外圆柱体静止 不存在 z 速度和方向相关 与时间无关、忽略重力、常密度 其分析解前面已得到.,

17、旋涡例子- 旋转的圆柱体,May 15, 2001 Inventory #001478 1-43,第一章 附录 A,下面是无量纲化动量和能量方程详细推导过程：,May 15, 2001 Inventory #001478 1-44,无量纲项逐项说明,对流项: 或者 应力项: 或者,May 15, 2001 Inventory #001478 1-45,压力梯度项: 结合上述所有项,并将常量移到一边: 或者,无量纲项逐项说明(续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-46,在自然对流问题中，当未指定明确的自由流动速度，依据雷诺数的一致性可得到一个参考速度: 注意，第

18、二个粘性系数及体积力已一起被忽略. 现可得剪应力项比较方便的使用形式为: 因此:,无量纲项逐项说明(续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-47,转到能量方程以前, 检查低速下的Navier-Stokes方程，此时重力很重要 (比如，自然对流). 已知除了体力项，密度变化对所有的项都可忽略 这就是 Boussinesq 近似, 对密度改变它通常采用下列形式的假设: 为热膨胀系数,无量纲项逐项说明(续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-48,Navier-Stokes方程变为: 此处, 变量随压力的改变被激活. 常密度头包含在压力

19、项中, 它现在用参照压力（比如环境压力）下的静压表达.,无量纲项逐项说明(续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-49,现在, 在静压表示中去掉 “mod” . 因为重力项之外采用参照密度，对所有项: 另外是重力加速度表达式.,无量纲项逐项说明(续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-50,重力分量中每一项的无量纲化，注意右边的每一项乘以对流项中常数的倒数 温度 . . . 对无量纲化温度，通常用参照温度与参照温度增量之间的微分来无量纲化温度:,无量纲项逐项说明(续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-51,最终, 代重力项入无量纲项： 自然, 引入了 Grashoff数: Boussenesq流体的 Navier-Stokes 方程:,无量纲项逐项说明(续),May 15, 2001 Inventory #001478 1-52,无量纲项逐项说明(续),对自然对流问题，方程将简化，因为可假设一个单位雷诺数. 对强迫流动, 需知道浮力项是否重要. 通常要考虑Froude 数:,May 15, 2001 Invent