2015年第二轮复习 第20讲 基本初等函数的图象、性质及应用

1、函数、导数与不等式的问题是新课标高考的命题热点之一，出现频率较高的题型是极值、最值、范围问题，单调性的讨论与不等式的证明等综合问题 从考查题型来看，往年高考中既有13道小题，又有12道解答题如2011年全国新课标、2011辽宁卷、2011安徽卷就命制了2道解答题，其它省市各命制1道解答题，且绝大多数试题处在把关题，压轴题的位置涉及的内容大多是函数与不等式、导数知识交汇，主要考查求函数的最值和值域，函数单调性的讨论，解不等式，求参数取值范围及函数零点个数探讨等,从考查的知识点来看，函数的单调性是考查重点之一，且单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势函数的图象注重考查图象变换(平移变换、伸缩变换、对

2、称变换)及基本初等函数图象的应用对指数函数与对数函数的考查，大多是以函数的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能比较熟练地运用性质进行有关数式的大小比较，方程解的讨论等由于三次函数的导数是二次函数，因此，对于三次函数的问题应特别引起重视不等式重点考查的有四种题型，即解不等式，特别是解含绝对值的不等式，证明不等式，不等式的应用，不等式的综合性问题，突出不等式的知识在解决数学问题和实际问题中的应用价值不等式证明常与函数、数列、导数综合在一起，证明过程中的构造函数法、数学归纳法、放缩法是高考命题的一个热点，其中放缩的“度”的把握更能显出解题的真功夫此外关于连续函数在闭区间上的最值定理及有高等数学背景

3、的函数的凸性问题也值得关注,第20讲 基本初等函数的图象、性质及应用,1考题展望 基本初等函数的图象和性质是高考考查的重点，多以小题形式出现，有时也在实际应用问题或与导数、方程、不等式、数列等知识综合出现在解答题中进行考查，侧重考查函数单调性及综合应用,【命题立意】本小题主要考查分段函数与周期函数等知识及运算求解能力,1函数的有关概念，函数的三要素 2函数的图象、图象变换及应用 三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换 (1)平移变换 函数yf(xa)(a0)的图象可以通过把函数yf(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位而得到； 函数yf(x)b(b0)的图象可以通过把函数y

4、f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位而得到,(2)伸缩变换 函数yAf(x)(A0，A1)的图象可以通过把函数yf(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)成原来的A倍，横坐标不变而得到 函数yf(x)(0，1)的图象可以通过把函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)成原来的，纵坐标不变而得到,(3)对称变换 函数yf(x)的图象可以通过作函数yf(x)的图象关于x轴对称的图形而得到 函数yf(x)的图象可以通过作函数yf(x)的图象关于y轴对称的图形而得到 函数yf(x)的图象可以通过作函数yf(x)的图象关于原点对称的图形而得到 函数yf(|x|)的图

5、象可以通过作函数yf(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到 函数y|f(x)|的图象可以通过作函数yf(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到,(3)幂函数的图象及性质 对于幂函数yx(R)，当1时，yx的图象是直线；当0时，yx01(x0)的图象是直线(不包括点(0，1)其他一般情况的图象如下表：,幂函数的性质 ()当0时，幂函数yx有下列性质： 图象都通过点(0，0)、(1，1) 在第一象限内，函数值随x的增大而增大 在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的,()当0时，幂函数yx有下列性质： 图象都通过点(1，1

6、)； 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的； 在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近； 4函数的周期性的定义及常用结论 一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值： 若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期,6对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若f(x)的图象有两条对称轴xa和xb(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a，0)和(b，0)(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|为它的一个周期；若f(x)的图象有一对称

7、轴xa和一个对称中心(b，0)(ab)，则f(x)为周期函数，且4|ba|是它的一个周期,B,B,4，6,【点评】函数的概念涉及的基本问题一般是定义域、值域、解析式等，命题形式有两种，一种是以基本初等函数为载体构造试题，另一种是以某新定义构建函数,4b,A,C,【点评】函数的性质指奇偶性，单调性和周期性；函数的奇偶性可以进行函数在其定义域内图象，函数值、解析式和单调性的转化，函数单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式；周期性考纲要求是了解，应用时关键是利用周期性转化函数的解析式、图象和性质，同时应注意函数性质的“逆用”,C,A,(e，e1),【点评】关于函数图象问题一般有两类，第一类是作图和

8、识图如本例(1)(2)；本例(1)其求解方法可以通过求得解析式后作图，也可利用基本初等函数的图象通过图象变换而求解，还可以利用特殊点和函数图象的增减性与对称性，应用淘汰法求解本例(2)的求解方法有先求解析式后判定和根据函数的定义域和值域的取值范围，并观察函数的增减进行分析推理；第二类是用图，如本例(3)，即利用函数的图象分析研究函数的相关问题,【点评】本例系新定义创新问题，题设中定义两函数单调性一致的概念，问题求解的策略是将单调性一致转化为恒成立问题，然后推理探究而解决问题,1深刻理解函数的概念的内涵，不仅包括准确理解函数的概念，而且包含了函数的灵活应用 2函数图象是函数的直观反映，是数形结合

9、的基础，因此必须熟练掌握函数图象的作法，并能灵活运用图象来分析解决问题常用的作图方法有描点法和变换法解决函数图象问题常用的方法有：函数模型法、定量分析法和定性分析法,3讨论函数的性质必须坚持定义域优先原则，对于函数实际问题，注意挖掘隐含实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响 4对称性与周期性结论要分清，即“内同表示周期性，内反表示对称性”；中心对称与轴对称的结论不要混淆，“内反外同轴对称，内外都反中心对称” 5若函数图象同时具备两种对称性，两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数一定是周期函数 6运用函数性质解题时，应注意：数形结合，扬长避短；等价转化，迅速破解；含参变量，分类讨论，全面考虑,B,B,D,C,D,【解析】yf(x1)的图象是由yf(x)向右平移1个单位得到 f(x)是奇函数，图象关于(0，0)对称，