高等数学笔记

1、高等数学1 高等数学 1、双曲正弦曲线： 2 xx ee shx ；双曲余弦： 2 xx ee chx ；双曲正切： xx xx ee ee thx ；双曲余切： xx xx ee ee chx 2、极限的定义表示方法：AxfAxf x )()(lim 0 3、两个函数的重要准则：1 sin lim 0 x x x ；e x x x 1 1lim 4、函数的间断点：第一类间断点： （两边极限都存在且相等：可去间断点；两边极限都 存在，不相等为跳跃间断点。第二类间断点：极限不存在或震荡间断点。 5、关于函数的求导法则：一：隐函数的求导法则： Fy Fx dx dy ；参数函数的求导法则： )(

2、)( ty tx ； )( )( / / t t dx dy ； 6、 关于二元函数的极值、 单调性、 凸凹性、 拐点问题： 关于二元函数的单调性：?, 0)( / xf 表示函数递增；小于 0，表示函数递减；?, 0)( / xf表示函数凹，小于 0，表示函数凸。函 数的二阶导数为 0，表示函数为拐点；求函数极值的办法为：首先找出驻点（一阶导数为 0 的点或导数不存在的点，判定两边的一阶导数是否变号，若左边小于 0，右边大于 0，则表 示为最小值；左边大于 0，右边小于 0，则表示为最大值。若二阶导数不为 0，大于 0，则有 最小值，小于 0，这有最大值。 7、关于几个二次曲线、曲面： （1

3、）双曲线：1 2 2 2 2 c z a x ，若绕 Z 轴旋转：旋转单页双曲面：1 2 2 2 22 c z a yx 绕 X 轴旋转：1 2 22 2 2 c zy a x ，旋转双叶双曲面。 （2）椭圆锥面： 2 2 2 2 2 z b y a x ；椭圆球面：1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ；单叶双曲面： 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ；双叶双曲面：1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ；椭圆抛物面：z b y a x 2 2 2 2 ；双曲 抛物面：z b y a x 2 2 2 2 ； 高等数学2 8、多元函数的极值：0),(

4、; 0),(yyxfyxf x ； 设 yYXYXX yxfCyxfByxfA),(;),(;),(；首先用一阶导数求出可能的极值点， 若 B2-AC0 没 有极值；B2-AC=0，可能有极值也可能没有极值。 条件极值：L（x,y）=F(x,y)+（x,y） ； （其中前项为已知条件，后项为限制条件） 。求 导和限制条件，建立三个方程组，求解。 9、多元函数的应用：求曲线面积：dxdyffA D yx 22 1 10、曲线积分： （1） 、对弧长的曲线积分： );();(tytx;)()()(; )(),( 2/2/ dtttttfdsyx L （2） 、对弧长的坐标积分： );();(tyt

5、x;)()()(; )(),( / dtttttfdsyx L （3）格林公式： LD QdyPdxdxdy Y P x Q )( 11、关于级数的审敛法则： （1） 、正向级数：P 级数： pppp 5 1 4 1 3 1 2 1 1，当 P1,级数收敛；P1，级数发 散，P=1，级数可能收敛，也可能发散。 比较审敛法： n n u u 1 ，若1，级数发散；1 级数收敛。=1，可能收敛也可 能发散。 根号审敛法： n n u，若1，级数发散；1 级数收敛。=1，可能收敛也可 能发散。 （2） 、交错级数 定义审敛： n n u 1 ) 1( ； nn uu 1 ；0 n linu；则级数收

6、敛。 对于级数： n uuuu. 321 若： n u收敛则绝对收敛；若 n u收敛，而 n u发散则条件收敛。 12、关于函数的展开： （1）公式一： 432 1 1 1 xxxx x （2）特殊级数： 高等数学3 n nn nxbnxa a xf 1 0 )sincos( 2 )( 其中：dxnxxf T an cos)( 2 ；dxnxxf T bn sin)( 2 对于奇函数：只有 bn；对于偶函数有 a0，an； 对于函数的收敛：若连续则收敛于 f(x)，若不连续，收敛于（f(x左)+f(x右)）/2 13、关于微分方程的特征根问题： 0 2 qprr 特征根： 2 4 2 1 qp

7、p r ； 2 4 2 2 qpp r 若：p2-4q0，则有两个不等实根，则通用解为： xrxr ececx 2 2 1 11 p2-4q=0，则有两个相等实根，则通用解为： 2, 1 211 )( xr exccx p2-4q0，则有两个不等虚根，则通用解为：)sincos( 211 xcxcex x 13、关于代数余子式： Aij=(-1)(i+j)Mij; 矩阵对换两列或两行，值变号。行列式为A或记为 detA。 关于矩阵： nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa . . . . . 321 3333231 2232221 1131211 的代数余子式 nnnn

8、n n n n AAAA AAAA AAAA AAAA . . . . . 321 3332313 2322212 1312111 14、关于矩阵的逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的相似、矩阵合同 （1） 、AA-1=E；AA*=AE;A-1=A*/A （2） 、P-1AP=B，称为 B 与 A 相似。 （3） 、PTAP=B，称为 B 与 A 合同。当合同时：PT= P-1。称为 P 矩阵正交。 15、关于矩阵的秩、特征值、特征向量 （1） 、矩阵的秩：r(A)表示，所有 N 阶为零，则秩为 N-1。 （2） 、矩阵的特征值：AX=X；即满足方程： （A-E）=0 的为特征值，然后根据每 个特征值解出

9、一个向量叫特征向量。 16、关于正交矩阵、矩阵的范数 （1） 、正二次型：对角线的为正，其余的为 0. （2） 、范数： （XX）0.5。 17、关于概率论的几个概念： （1） 、和事件：A、B 至少有一个要发生。记为BA （2） 、积事件：A、B 同时发生。记为BA 高等数学4 （3） 、差事件：A-B，A 发生，B 不发生。记为 BA 18、关于概率论的几个问题的计算 （1） 、求逆公式：)(1)(BPBP （2） 、求积公式：)()()()()(APABPBPBAPABP （3） 、求和公式：)()()()(ABPBPAPBAP （4） 、求差公式：)()()(ABPAPBAP 19、关

10、于变量的期望和方差、协方差 （1） 、期望 离散型随机变量的期望：E（X）=XPK 连续性随机变量的期望： dxxfxX)()(E 连续性函数的期望： dxxgxfX)()()(E 期望的性质：cylExkEclykx)()()(E （2） 、方差 计算公式： 22 )()()(xExExD 方差的性质：0)()()( 22 yDlxDkclykxD （3） 、协方差 计算公式：)(),cov(EyyExxEyx 方差的性质：)(),cov(xDxx；; 0),cov(cx);,cov(),cov(yxkllykx );,cov(),cov(),cov( 2121 yxyxyxxX、Y 相互独

11、立： 0),cov();()()(YXyExExyE? （4） 、相关系数： )()( ),cov( ),( yDxD yx yx )()(),(2)()()(yDxDyxyDxDyxD 19、关于常用的几个函数的期望与方差 （1） 、二点分布；)1 ()(;)(EppxDpX?， （2） 、二项分布：公式：)1 ()(;)(E;p)-(1p k)-(nk pnpxDnpXC k n ?记做：xb(n,p) 高等数学5 （3） 、泊松分布：公式： )(;)(E; ! xDX k e k ?;)(x （4） 、均匀分布：公式： 12 )( )(; 2 )(E; 1 2 ab xD ba X ab

12、 ?; xu(a,b) （5） 、指数分布：公式： 2 x- 1 )(; 1 )(E;e xDX?,无记忆性。 （6） 、正态分布：公式： 2 2 )-(x 2 )(;)(E;-e 2 1 2 2 xDX?； )(1)(xX；)()() 1 , 0(abN；2/1)0( )()(),( 2 ab N 20、统计量 （1） 、样本均值： n i X n X 1 1 （2） 、样本方差： 2 1 2 )( 1 1 XX n S n i （3） 、样本标准差： 2 1 )( 1 1 XX n S n i （4） 、样本 K 阶原点距： n k i X n 1 1 （5） 、样本 K 阶中心距： k n i XX n )( 1 1 （6） 、性质：记 22 2 )(;)(;)( sE n XDXE， 21、三个常用分布 （1） 、 2 分布：设 Xn 都相互独立，每一个都符合正态分布，则： n i i X 1 22 ，具有 n 个自由度的