概率论与数理统计第三章习题解

1、- 1 - 第三章第三章 多维随机变量及其分布习题解多维随机变量及其分布习题解 （习（习 题题 三）三） 1 1.定义二元函数 + + = )0( )0( , , 0 1 ),( yx yx yxF，试验证此函数对每个变量单调 不减，右连续，且满足分布函数的性质(3)，但不满足性质(4). 解解:.对任意 21 xx，有yxyx+ 21 ，则由已知函数： 0 21 +yxyx时：),( 1 yxF),( 2 yxF0；0yxyx+ 21 时： ),( 1 yxF),( 2 yxF1；0, 0 21 +yxyx时：),( 1 yxF0),( 2 yxF1. 故综合之，对任意 21 xx，总使),

2、( 1 yxF),( 2 yxF成立，),(yxF对变量x单 调不减.对称地，),(yxF对变量y亦单调不减. .对任意Rx 0 ，当0 0 +yx时，1)(),(lim 0 0 =+= + yxFyxF xx ，当0 0 +yx 时， 0)(),(lim 0 0 =+= + yxFyxF xx ， ),(yxF对变量x右连续， 对称地，),(yxF对变量y 亦右连续. .显然 0),(yxF1；当x，或y时，总存在时刻0+yx， 使0),(),(=xFyF；当,+x或+y时，总存在时刻0+yx， 使),(+F=1。 .取( 1 x, 2 x)=(-1,0),( 1 y, 2 y)=(0,1)

3、,则由已知函数： ),( 22 yxF=) 1 , 0(F1，),( 21 yxF) 1 , 1(F=1 ),( 12 yxF1)0 , 0(=F，),( 11 yxF)0 , 1(F=0 ),( 22 yxF-),( 21 yxF-),( 12 yxF+),( 11 yxF=1-1-1+0=-1P 1-(0.01+0.01+0.01+0.03+0.01+0.04)1-0.110.89 6 6.在一箱子里装有 12 只开关，其中两只是次品，从中随机地取两次，每次 取一只，考虑两种试验：(1).有放回抽样；(2).无放回抽样.我们定义随机变量 - 5 - 、如下： 若第一次取出的是次品 若第一次

4、取出的是正品 , , 1 0 ， 若第二次取出的是次品 若第二次取出的是正品 , , 1 0 试就(1)、(1)两种情况写出、的联合概率分布. 解解：(1).有放回抽样试验条件下，、取各组值的联合概率为： =(P0,=0)10/1210/1225/36 =(P0,=1)10/122/125/36 =(P1,=0)2/1210/125/36 =(P1,=1)2/122/121/36 则有放回试验条件下，、的联合概率为： 01 0 1 25/365/36 5/361/36 (2). 无放回抽样试验条件下，、取各组值的联合概率为： =(P0,=0)10/129/1145/66 =(P0,=1)10/

5、122/1110/66 =(P1,=0)2/1210/1110/66 =(P1,=1)2/121/111/66 则无放回试验条件下，、的联合概率为： 7 7.随机变量(,)的分布密度为： 01 0 1 45/665/33 5/331/66 - 6 - + + + = )( )( , , 0 )( ),( 222 222 22 Ryx Ryx yxRA yxf 求：(1).系数A；(2). 随机变量(,)落在圆)( 222 Rrryx=+内的概率. 解解：(1).由联合分布密度性质： + + =+= D R dRAddxdyyxRAdxdyyxf 2 00 22 )()(),( 1 3 1 0

6、) 3 1 2 1 (2 332 =AR R RA，从而得： 3 3 R A =. (其中D： 222 Ryx+,化为极坐标式求二重积分）. (2).记D：)( 222 Rrryx+,则(,)落在圆)( 222 Rrryx = + 其它）( )0, 0( , , 0 ),( )43( yxAe yxf yx (1).确定常数A；(2).求(,)的分布函数；(3).求)20 , 10(yx时： - 7 - + = xy x y vu dudvedxdyyxfyxF 0 0 )43( 12),(),( y y x x dyedxe 0 4 0 3 12= 1)(1 ( 00 343xvu e y

7、e x e) 4y e 综合之，的联合分布函数为： = （其它） )0, 0( , , 0 )1)(1 ( ),( 43 yxee yxF yx . (3).用分布函数求用分布函数求： )0 , 0()0 , 1 ()2 , 0()2 , 1 ()20 , 10(FFFFP+= 95 . 0 )1)(1 ()2 , 1 ( 83 = eeF. 用密度函数求用密度函数求： )20 , 10(P= 1 0 2 0 )43( 12dxdye yx 95 . 0 ) 1)(1( 0 2 0 1 12 8343 2 0 4 1 0 3 = = eeeedyedxe yxyx . 9 9. 求出在D上服从

8、均匀分布的随机变量(,)的分布密度及分布函数， 其中 D为x轴、y轴及直线y2x1 围成的三角形区域. 解解：D如下页图，D的面积为：A1/4，由均匀分布定义，(,)的分 布密度为： = 其它 Dyx yxf ),( , , 0 4 ),( 用不等式表示三角形区域D：-1/2x0，0y2x1，则由连续型随机 变量分布函数的定义及已知密度函数： .当x-1/2, 或y0 时：),(yxF = xy dxdy00 - 8 - .当 -1/2x0，0y2x1 时： += xyyx y y dyyxdydxdxdyyxfyxF 0)1(2/10 ) 12(24),(),( 22 ) 12(22/1)

9、12(2yyxyyx+=+ （ 22 )12() 12(yxx+） .当 -1/2x0，y2x1 时： + + += xyxx y x dyyxdydxdxdyyxfyxF 12 0)1(2/1 12 0 ) 12(24),(),( 22 ) 12( 0 12 2 1 ) 12(2+= + +x x yyx . 当x0，0y1 时： = xyy y y dyydydxdxdyyxfyxF 0 0 )1(2/10 )1 (24),(),( 22 )1 (1 0 )1 (y y y= .当x0，y1 时： + += xyx dxxdydxdxdyyxfyxF 0 2/1 12 0 0 2/1 )

10、12(44),(),( 1 2/1 0 ) 12( 2 = +x 综合，随机变量(,)的分布函数为： - 9 - + + + + = ) 1, 0( ) 10 , 0( ) 12, 02/1( ) 120 , 02/1( )02/1( , , , , , 1 )1 (1 ) 12( ) 12(2 0 ),( 2 2 2 yx yx xyx xyx yx y x yyx yxF 或 1010.设二维随机变量(,)的概率密度为 = )( )0 , 10( , , 0 )2(8 . 4 ),( 其它 xyxxy yxf 求,的边沿分布密度. 解解：),(yxf的非 0 值区域D如下图所示，则由边沿分

11、布密度的定义有： (1).当x1 时： + + =00),()(dydyyxfxf； 当 0 x1 时： + =dyyxfxf),()( = x x yxdyxy 0 2 0 )2(4 . 2)2(8 . 4 2 )2(4 . 2xx. 综合之，关于随机变量的边沿分布密度为： = ) 1, 0( ) 10( , , 0 )2(4 . 2 )( 2 xx xxx xf (2).当y1 时： + =dxyxfyf),()( + = 00dx； 当 0yx时： + =dxyxfyf),()( += 1 22 )34(4 . 2 1 )2(4 . 2)2(8 . 4 y yyy y xydxxy. -

12、 10 - 综合之，关于随机变量的边沿分布密度为： + = ), 0( )0( , , 0 )34(4 . 2 )( 2 xyy xyyyy yf 1111.离散型随机变量(,)的概率分布如下表所示： (1).求随机变量、的边沿概率分布；(2). 与是否独立. 解解：由(,)的联合概率分布表： (1). 随机变量的边沿概率分布为： 0123 p 0.6270.2600.0950.018 随机变量的边沿概率分布为： (2). 有)()(),(jPiPjiP=，如 )0()()0,(=PiPiP(i=0,1,2,3) 与相互不独立. 1212.设随机变量(,)的分布函数为： 0123456 0 1

13、 2 3 0.2020.1740.1130.0620.0490.0230.004 00.0990.0640.0400.0310.0200.006 000.0310.0250.0180.0130.008 0000.0010.0020.0040.011 0123456 p 0.2020.2730.2080.1280.1000.0600.029 - 11 - ) 3 arctan)( 2 arctan(),( y C x BAyxF+=， 求：(1).系数A,B,C；(2).(,)的分布密度；(3).与的边沿分布密度； (4).与是否相互独立. 解解：(1).依据联合分布函数的规范性质： 由1)2/

14、)(2/(),(=+=+CBAF，得 A CBBC 1 4 )( 2 2 =+ - 由0)2/)(2/(),(=+=+CBAF，得 0 4 )( 2 2 =+ CBBC- 由0)2/)(2/(),(=+=+CBAF，得 0 4 )( 2 2 =+ BCBC- 联解得：2/=CB,代入得： 2 /1=A，从而(,)的分布函数为： ) 3 arctan 2 )( 2 arctan 2 ( 1 ),( 2 yx yxF+= ， （ 2 ),(Ryx）. (2).由连续随机变量密度函数的性质: yx yxF yxf = ),( ),( 2 ，有： ) 3 arctan 2 ( )4( 2),( 22

15、y xx yxF + + = ， 222 2 )9)(4( 6),( yxyx yxF + = ， 即(,)的分布密度为： - 12 - ),(yxf 222 )9)(4( 6 yx+ ， （ 2 ),(Ryx）. (3).的边沿分布密度为： + + + + = + = 22222 )4( 3/arctan2 )9)(4( 6 ),()( x y dy yx dyyxfxf )4( 2 2 x+ ， （Rx）. 的边沿分布密度为： + + + + = + = 22222 )9( 2/arctan3 )9)(4( 6 ),()( y x dx yx dxyxfyf )9( 3 2 y+ ， （R

16、y）. 1313.已知二维离散型随机变量(,)的联合分布入下页表所示，问,为何 值时，,相互独立？ 解解：把,的边沿分布分别列于已知联合分布表的右列和下行，则由： 1221 ppp= ，即 9 1 ) 9 1 ( 3 1 =+，得： 9 2 =；(接表下): / 123 i p 1 2 1/61/91/18 1/3 1/3 +1/3 j p1/2+1/9+1/18 1 - 13 - 1331 ppp= ，即 18 1 ) 18 1 ( 3 1 =+，得： 9 1 =. 当 9 2 =， 9 1 =时总有有： jiij ppp =， (2 , 1; 3 , 2 , 1=ji） ， ,独 立. 1

17、414.本章习题第二题中的两个随机变量是否独立. 解解：由 2 题解的联合概率分布表，显然有： ijji ppp ，(i,j=1,2,3) ,不是相互独立的. 1515.已知(,)的概率密度为： = 其它）( ) 1,0( , , 0 )2(6 ),( yxyxxy yxf 问,是否相互独立. 解解：.求的分布密度： 当x1 时， + =00)(dyxf 当 0 x1 时： = 1 0 )2(6)(dyyxxyxf 0 1 ) 3 1 2 1 (6 322 yxyyx 2 34xx 则的分布密度函数为： = ) 1, 0( ) 10( , , 0 34 )( 2 yy yyy yf. . =)

18、,( )( ) 1,0( , , 0 )34)(34( )()(yxf yxyxxy yfxf 其它 - 14 - ,不相互独立. 1616.设随机变量,相互独立，分布密度分别为： = )0( )0( , , 0 2/1 )( 2 1 x x e xf x ， = )0( )0( , , 0 3/1 )( 3 1 y y e yf y . 求随机变量+=Z的分布密度. 解解：,相互独立，则： + =dxxzfxfzfZ)()()( ，其中由,的密度 有： = + )( )0, 0( , , 0 6/1 )()( ) 3 1 6 1 ( 其它 xzx e xzfxf zx ， 且由0 x，0 x

19、z决定的平面区域如图， 当0z时： + + =dxdxxzfxfzfZ0)()()( 0； 当0z时： + = z xz Z dxeedxxzfxfzf 0 6/3/ 6 1 )()()( )1 ( 0 6/3/6/3/zzxz ee z ee = 综合之，+=Z的分布密度为： = )0( )0( , , 0 )1 ( )( 6/3/ z zee zf zz Z . 1717.设二维连续型随机变量(,)的密度函数为),(yxf，用函数),(yxf表达 随机变量=Z的分布密度. - 15 - 解： = zyxD Z dxdyyxfzPzZPzF : ),()()()(，其中D如下图所示. (1)

20、.把积分区域D表示为：D：zyx+， +y，则 + + = zy Z dxdyyxfzF),()(.令 ytx+=，则有dtdx=，且x时t， zyx+=时，zt=，从而 + += z Z dtdyyytfzF),()(， （Rz）- 于是对z求导，得=Z的分布密度为： + +=dyyyzfzfZ),()(， （Rz）- (2).把积分区域D表示为 ：D：+x，+ = + )( )0, 0( , , 0 ),( )( 其它 yxe yxf yx ， - 16 - 求)( 2 1 +=Z的分布密度. 解解：1)1)类和函数推解法类和函数推解法： )( 2 1 +=Z的分布函数为： + = zyx

21、 dudvvufzZPzF 2 ),()()(. 如图，把积分区域D:zyx2+化为： D:+x，xzy = )( )02 , 0( , , 0 2 )2 ,(2 2 其它 xzxe xzxf z , 且由0 x，02xz决定的平面区域如右图，则： 当0z时： =)(zf + dxxzxf)2 ,(2 + = 00dx； 当0z时： =)(zf + dxxzxf)2 ,(2 = z zz zedxe 2 0 22 42. )( 2 1 +=Z的密度函数为： = )0( )0( , , 0 4 )( 2 z zze zf z . 2)2)化归公式法：化归公式法： Z=+的分布密度为(教材 90

22、P): + =dxxzxfzf),()(，Z2=+,即 - 17 - )( 2 1 +=Z的分布密度为： + =dxxzxfzf)2 ,(2)(，从而类上解可得： )( 2 1 +=Z的分布密度为： = )0( )0( , , 0 4 )( 2 z zze zf z . 综合练习三综合练习三 1.1.填空题填空题 (1).设二维随机变量(,)的联合分布函数为： + = + )( )0, 0( , , 0 1 ),( )( 其它 yxeee yxF yxyx . 则=)(xF )0( )0( , , 0 1 x xe x ；=)2, 1(P546 . 0 1 321 + eee. 解：=)(xF

23、 =+ )0( )0( , , 0 1 ),( x xe xF x ； =)2, 1(P1 (F,2) 321 1 +eee. (2). 设二维随机变量(,)的密度函数为： + = )( )2/,0( , , 0 )sin( ),( 其它 yxyxA yxf,则2/1=A. 解：由 + + +=+= 2/ 0 2/ 0 2/ 0 0 2/ )cos()sin(),( dyyxAdxdyyxAdxdyyxf =+ 2/ 0 12 0 2/ )cos(sin)cos(sin AyyAdyyyA,得2/1=A. (3). 设二维随机变量(,)的密度函数为： = )( ) 10( . , 0 15 )

24、,( 2 其它 xyxy yxf， - 18 - 则 = . ) 1, 0( ) 10( , , 0 )1 (2/15 )( 22 yy yyy yf 解：.当x1 时，),(yxf0，此时)(xf0； 当10 xy时， + = x x x xydyxydyyxfxf 0 432 5 0 515),()( ， = ) 1, 0( ) 10( , , 0 5 )( 4 xx xx xf. .当y1 时，),(yxf0，此时)(yf0； 当10 xy时,)1 ( 2 15 1 2 15 15)( 2222 1 2 yy y xydxxyyf y = , = )0( )0( , , 0 )( x x

25、e xf x ，则(,)的联合密度为:=),(yxf)(d. (a). = + )( )0, 0( , , 0 2 ),( )( 其它 yxe yxf yx ；(b). = + )( )0, 0( , , 0 ),( )( 其它 yxe yxf yx ； (c). + = 其它）( )0, 0( , , 0 )0, 0( , , 0 ),( yxyxee yxf yx ；(d).以上结论均不对. 解：对于(a)：当x0 时： + + = = 0 )()( 0 22),()( yxyx edyedyyxfxf，(a)； 对于(b)：当x0 时： + + = = 0 )()( 0 ),()( yxyx edyedyyxfxf，(b)； 对于(c)：当x0 时： + = =+= 0 0 )()(),()( yxyx eyedyeedyyxfxf，(c)；