正余弦定理的综合运用

1、正弦定理、余弦定理综合运用,余弦定理：,正弦定理：,复习：,（r是三角形外接圆半径）,实现边角互化,在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：,例1： 在 中， ，试判断三角形的形状,练习：1 .在 中，已知 ，判断三角形的形状,题型一:判断三角形形状,小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使 另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理,3.在 中，若 ，则 是( ) a等腰三角形 b等腰直角三角形 c直角三角形 d等边三角形,d,题型二：三角形中的化简求值题,例2：abc中，已

2、知a=2，求bcoscccosb的值。,解:（化角为边）由余弦定理得：,bcoscccosb,c,b,解法二:（化边为角） 由正弦定理得：,bcoscccosb ,例2：abc中，已知a=2，求bcoscccosb的值。,解法一：,代入 得：,由正弦定理得：,（化边为角）,例3：,解法二：由余弦定理得,代入 得：,整理得,（化角为边）,例3：,解：由余弦定理知：,（化边为角）,练习二,题型三:证明恒等式,方法一:边化角;,方法二:角化边;,小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就

3、是有了目标的含边与角的式子的化简问题。,1如果a1b1c1的三个内角的余弦值分别等于a2b2c2的三个内角的正弦值，则（ ） （a）a1b1c1和a2b2c2都是锐角三角形 （b）a1b1c1和a2b2c2都是钝角三角形 （c）a1b1c1是钝角三角形，a2b2c2是锐角三角形 （d）a1b1c1是锐角三角形，a2b2c2是钝角三角形,思考题 判断三角形形状,解：a1b1c1的三个内角的余弦值都大于0，所以a1b1c1是锐角三角形，,若a2b2c2也是锐角三角形，则,sina2=cosa1=sin( a1)，则a2= a1，,同理 b2= b1，c2= c1，,矛盾,所以a2b2c2不是锐角三

4、角形， 选d。,练习：在abc中，求证：a2sin2b+b2sin2a=2absinc,题型四、面积问题,变式4、已知abc的三边长 求abc的面积,变式3、已知abc的面积 求c角的大小？,变式1.abc的面积为 求a,变式2、在abc中， 求abc的面积及外接圆半径,例5、a ,a+1,a+2 构成钝角三角形，求a 的取值范围。 变式：锐角三角形的三边长为2,x,3， 求x的取值范围。,练习：,三条线段长度为2,x,6 (1)求构成直角三角形时，x的取值范围 (2)求构成锐角三角形时，x的取值范围 (3)求构成钝角三角形时，x的取值范围,题型五、范围问题,1、（07年全国卷）,方法一：正弦定理,（1）,方法二：余弦定理,（2）,方法一：向量数量积定义,方法二：勾股定理,（3）,余弦定理,小结：,1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型： （1） 判断三角形的形状； （2） 三角形中的求值题。,2、两种题型思路的共同点就是从“统一”着眼， 或统一转化为三角函数，作三角变换； 或统一转化为边，作代数变