一集合的概念表示方法和运算解读

1、第 二 篇 集 合 论,集合论是现代各科数学的基础。在数学发展中，集合理论一方面扩充了数学研究的对象，另一方面集合理论又为数学奠定了基础。,本章介绍集合论的基础知识如：集合运算、性质、序偶、关系等。,第 三 章： 集合与关系,31、集合的概念、表示方法,1、集合定义：具有共同性质的东西汇集成的一个整体。,表示习惯 大写字母表示集合，小写字母表示集合中的元素,集合的基数 |A| A中元素的个数,a A b A c A,2、集合的描述,说明集合的两种方法：,(1)列举法：例如，A=桔子、苹果、香蕉， B=0,1,2 。,一、集合的概念、表示方法及集合的运算,(2) 叙述法：例如，S1=x | x是

2、正奇数， S2=y | y=T或y=F。,A x | p(x) 为集合 p(x)为任意谓词,设Ax|p(x)，若p(b)为真，那么b A， 若p(b)为假，那么b A。,注意：集合可以嵌套,例如：S = a，1，2 ， P , q ,注意区分集合q与元素q qq，qS 但q S。,一、集合的概念、表示方法及集合的运算,例如，设h是“张华”，C是中国公民的集合，U是参加联合国的成员国集合。于是有 h C，CU。 但h U。,特定的一些集合的表示符号 （1）自然数集 N=0，1，2， （2）整数集合 I=-2，-1，0，1，2， （3）正整数集合 I=1,2,3,4 （4）有理数集合 Q=xx=P

3、q，p,qI （5）实数集合 R=xx 是实数,一、集合的概念、表示方法及集合的运算,3、集合间的关系,说明： 1、集合的表示不唯一。xx23x20yyI1y2 2、集合中元素是无序的。a,b,ca,c,bb,c,a。 3、集合中可有相同的元素。a，ba，b，b 4、集合中的元素可能还是集合。,(1)相等,A=B (x)(xA xB) (x)(xB xA),A、B不相等记作：A B,外延性定理：两集合相等当且仅当它们有相同的成员。,例、设P=a,b,c， Q=a,b,c，于是 PQ。,例、设 A=x | x(x-1)=0与 B=0，1，于是A=B。,(2) 包含：设A、B是任意两个集合，假如A

4、的每一个元素是B的成员，则称A为B的子集，记作A B。,自反性 AA 反对称性 (AB)(BA) A=B 传递性 (AB)(BC) A C,包含关系的性质：,A B (x)(xA xB),例如A1,2,3，B=1,2，C=1,3，D=3， 则：,B A，C A，D A，D C。,一、集合的概念、表示方法及集合的运算,(3)真包含,如果集合A的每一个元素都属于B，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集。记作A B,定理1 集合A和B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。,此定理常用来证明集合相等,AB (x)(xA xB)（x）（xB x A）,例如，整数集是有理数集的真子集。,

5、4、特殊集合,(1)空集,不包含任何元素的集合是空集，记作 。, x| p(x) p(x) , ,一、集合的概念、表示方法及集合的运算,例如：Z=xx2+1=0,xR,AB （AB）（A B）,证明见书P83,定理2 对于任意一个集合A， A。,推论：空集是唯一的。,(3)全集,(2)集合A的平凡子集：A 和 。,在一定范围内，如果所有集合均为某一个集合的子集，则称该集合为全集，记作 。,Ex| p(x) p(x) ,(x)(x E) 恒真,全集是相对的，要看具体情况。,一、集合的概念、表示方法及集合的运算,证明：设 1 ，2 是两个空集，由定理2，12 ，21，1=2 空集是唯一的。,(4)

6、幂集,设A是一个集合，由A的所有子集为元素构成的集合称为A的幂集 ，记作 P（A）。,设全集Ea,b,c，则E的所有子集为：,S0=，S1=a，S2=b，S3=c，S4=a,b，S5=b,c, S6=c,a，S7=a,b,c。,例如A=1,2 P(A)= ,1,2,1,2 ,定理3 如果有限集合A有n个元素，则其幂集P(A)有 2n 个元素。,例：P() =,P(P() =,?,试求a,b,c的幂集,P（a,b,c），a,b,c,一、集合的概念、表示方法及集合的运算,5、注意点：,和 ,， ,A= ,则有 A, A， A, A,例题：A=a, b, c 则a A, b A, c A a A,

7、bA, c A,作业：P86 (4) a,c,e (5) (6) b,e,一、集合的概念、表示方法及集合的运算,32 集合的运算,(2) 并集：AB=xxA xB,(1) 交集：A B = x xA xB,性质： A A=A, A = , A E= A, A B = BA, (AB)C=A(BC),证明见书P88,性质： A A=A, A =A, A E=E, AB=B A, (AB)C=A(BC),n个集合的交：A1 A2 。 An ,n个集合的并：A1 A2 。 An ,32 集合的运算,分配律：A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C),吸收

8、律：A (B A) = A A (B A) = A,证法一：见书P89,如何证明？,对x, 设 x A (B C ) xA x B C xA (x B x C) (xA x B) (xA x C) x A B x A C x (A B) (A C),法二：,定理： AB 当且仅当 AB=A 或 AB=B,证明：,对x, 设xAB xAxB xA,对x,设 xA xB (AB) xAxB 即： xAB,AB AB=A,2. AB=A AB,对x,设xA xAB（AB=A） xAxB xB, AB 当且仅当 AB=A,A B A,A A B, A B = A, A B,同理可证 AB 当且仅当 A

9、B=B,32 集合的运算,例题：对任意集合A，B，求证P(A) P(B) P（AB）,证明：对u,设u P(A) P(B) u P(A) u P(B),若：uP(A) uA,又因为A AB u AB uP(AB),若：uP(B) 同理可得： uP(AB),故：P(A)P(B) P(AB),32 集合的运算,(3) 集合的补集,相对补集（差集） A - B=xxAx B,绝对补集 A=xxA xE =E A,当A，B不相交时， AB = A，BA = B,补的性质： (A) = A ， E = = E， A AE A A ,定理： A，B，C为三个集合，则A(B-C)=(AB)-(AC),证明：

10、 A(B-C) = A(B C) = A B C,(AB)-(AC)=(AB) (AC) =(AB)(AC) =(A B A)(A B C) = (ABC) = A B C,因此， A(B-C) = (AB)-(AC),(3) 集合的补集,例题：求证A-B=AB 证明：,定理3-2.4德摩根律 (AB)= AB (AB)= AB 证明: P91,A-B=xxAxB =xxAxB =xxA B =AB,集合补的唯一性,集合补的唯一性定理： 设A和B是论域E的子集，B=A AB=E AB= ,证明 (1)若B=A，则ABAAE, AB = AA = (2)反之，若AB=E AB= ，则 B=EB

11、=(AA)B =(AB)(AB) = (AB) = (AA)(AB) = A (AB) =A E =A,定理：A，B为两个集合，若AB，则 1） B A 2）(BA) A = B,证明：1）略,2） (BA) A=(B A) A =(B A) (A A) =(B A) E = B A 又因为， AB 故， (B-A) A=B,(3) 集合的补集,(4) 集合的对称差,AB=（A-B）（B-A） =x(x B xA) (xA xB) =(A B)( A B),即：将AB中同时属于A，B的元素去掉,例题：A=xx-2,xR E=xx2求A，AA。,解：(1)A=EA xx2 (x-2) =x-2x2，xR,(2)因为：A-A= 所以：AA=(A-A)(A-A) = =,集合对称差的一些补充定理 定理： A BA B,定理：C(AB) = (CA)(CB),注： C (A B) (C A)(C B),C (A B) (C A) (C B),反例： 可取CE,对称差的性质a) AB = B A b) A=A A EA c) AA= d) AB =(AB) ( AB) e) (AB) C=A (BC),对称差的性质,证明：若AB=AC 则有B=C,xAB x AB(对称差定义) x AC（