第九章常微分方程数值解

1、第十章,常微分方程数值解法,（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）,问题驱动：蝴蝶效应,洛伦兹吸引子(Lorenz attractor)是由MIT大学的气象学家E dward Lorenz在1963年给出的，他给出第一个混沌现象蝴 蝶效应。,图10.1.1蝴蝶效应示意图,洛伦兹方程是大气流体动力学模型的一个简化的常微分方程组：,该方程组来源于模拟大气对流，该模型除了在天气预报中有显 著的应用之外，还可以用于研究空气污染和全球侯变化。洛伦 兹借助于这个模型，将大气流体运动的强度x与水平和垂直方 向的温度变化y和z联系了起来

2、。参数,称为普兰特数，,是规范,化的瑞利数，,和几何形状相关。洛伦兹方程是非线性方程组，,无法求出解析解，必须使用数值方法求解上述微分方程组。洛 伦兹用数值解绘制结果图10.1.1，并发现了混沌现象。,1 引 言,微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分 方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式 可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题 也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采 用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微 分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、 Gauss、Lagrange和L

3、aplace等，都遵循历史传统，研究重要 的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的 求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常 微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解 的若干方法。,一、初值问题的数值解法,1、一阶常微分方程初值问题的一般形式,常微分方程的数值解法分为 （1）初值问题的数值解法 （2）边值问题的数值解法,(2) 一般构造方法： 离散点函数值集合 + 线性组合结构 近似公式,2. 迭代格式的构造,(1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数值方法。基本方法有：有限差分法（

4、数值微分）、有限体积法（数值积分）、有限元法（函数插值）等等。,(3) 如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?,3. 微分方程的数值解法需要解决的主要问题,(1) 如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？,(2) 如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？,称 在区域D上对 满足Lipschitz条件是指:,记,4、相关定义,二、初值问题解的存在唯一性, 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,则上述IVP存在唯一解。,只要 在 上连续, 且关于 y 满足 Lipschitz 条件，,即存在与 无关的常数 L 使,对任意定义在 上的 都成立

5、，,求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值 的方法称为微分方程的数值解法。,称节点间距 为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。,称为微分方程的数值解。,三、初值问题的离散化方法,离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，,值 ,取 。,按节点从左至右的顺序依次求出 的近似,如果计算 需用到前r步的值 , ,则称这类方法为r步方法。,2 欧拉方法 /* Eulers Method */, 欧拉公式(单步显示公式）：,向前差商近似导数,亦称为欧拉折线法 /* Eulers polygonal arc method*/,在假设 yi = y(xi

6、)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。,定义2.2,若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。,定义2.1, 欧拉法的局部截断误差：,Ri 的主项 /* leading term */,欧拉法具有 1 阶精度。,例1: 用欧拉公式求解初值问题,取步长 。,解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：,其中 。,计算结果列于下表：,可用来检验近似解的准确程度。,进行计算，数值解已达到了一定的精度。,这个初值问题的准确解为 ，,从上表最后一列

7、，我们看到取步长, 欧拉公式的改进：, 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */,向后差商近似导数,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。, 隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。, 梯形公式 /*trapezoid formula */, 显、隐式两种算法的平均,注：梯形公式的局部截断误差 ，,即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。,但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不

8、用到,迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。, 中点欧拉公式 /* midpoint formula */,中心差商近似导数,假设 , 则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,简单,精度低,稳定性最好,精度低, 计算量大,精度提高,计算量大,精度提高, 显式,多一个初值, 可能影响精度,Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages?,Do you think it possible?,Well, call me greedy,OK, lets make it pos

9、sible., 改进欧拉法 /* modified Eulers method */,Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出,注:此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */,可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它,是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程,简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,改进的欧拉法,在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合， 计算公式为,应用改进欧拉法,如果序列 收敛,它的极限便满足方程,改进欧拉法的截断误差,因此，改进欧拉法公式具有 2 阶精度,二元函数的n阶Taylor展式：,例2:,用改进Eul

10、er公式求解例1中的初值问题，,取步长 。,解：对此初值问题采用改进Euler公式， 其具体形式为,计算结果列于下表：,改进的Euler法,Euler法,通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法,的计算精度比Euler方法要高。,3 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method */,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，,欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,以某一斜率沿直线达到 点。, 考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,首先希望能确定系数 1、2、

11、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开,Step 2: 将 K2 代入第1式，得到,Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较,要求 ，则必须有：,这里有 个未知数， 个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。,注意到， 就是改进的欧拉法。,为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i ( i = 1, , m )，i ( i = 2, , m ) 和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i1 ) 均

12、为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,考虑一阶常微分方程初值问题,将区域a,b进行分划：,若,则,n级显式Runge-Kutta方法,二阶Runge-Kutta方法,取n=2,记,由此得,另一方面,为使局部截断误差为 ,应取,改进的Euler方法,取,中点方法,取,二阶Heun方法,取,二级Runge-Kutta方法不超过二阶,记,则,因此局部截断误差只能达到,三级Runge-Kutta方法,取n=3,记,又由于,因此要使局部截断误差为 ，必须,Kutta方法,取,三阶Heun方法,取,三级Runge-Kutta方法不超过三阶,完全类似于二级Runge-Kutta方法的分析,只能达到,三

13、级Runge-Kutta方法的局部截断误差,将 和 都展开到 项,易证,四级R-K方法,取n=4,局部截断误差为O(h5),四阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：,附注：,二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,注： 龙格-库塔法的主要运算在于计算 的值，即计算 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：, 由于龙格-库塔法

14、的导出基于泰勒展开，故精,太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不,4 单步方法的收敛性与稳定性 /* Convergency and Stability */, 收敛性 /* Convergency */,例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x = xi = i h ，有, 稳定性 /* Stability */,例：考察初值问题 在区间0, 0.5上的解.分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,What is wrong ?!,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程 /* test equation */,常数，可以是复数,我们称算法A 比算法B 稳定，就是指 A