第3章 复变函数的积分

1、第3章复变函数的积分,复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。,3.1:复变函数的积分,3.2:柯西-(古萨)积分定理,3.3:复合闭路定理,3.4:科西积分公式,3.5:解析函数的高阶导数,3.6:几个重要的定理,3.7:解析函数与调和函数,本章补充新题型,本章小节,本章测试题,本章基本内容:,重点内容:,(1)柯西积分定理(单、复连通区域);,(4)调和函数的应用；,(2)柯西积分公式

2、(单、复连通,无界区域);,(3)高阶导数公式及其应用;,3.1复变函数的积分,3.1.1复变函数积分的概念在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：,定义3.1.1有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：(1)如果曲线是开口弧段，若规定它的端点为起点，为终点，则沿曲线从到的方向为曲线的正方向（简称正向），把正向曲线记为或.而由到的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为.,(2)如果是简单闭

3、曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向(3)如果是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则的正方向这样规定：当人沿曲线行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向,定义3.1.2复变函数的积分设函数在给定的光滑或逐段光滑曲线上有定义，且是以为起点，为终点的一条有向曲线，如图3.1所示把曲线任意分成n个小弧段，设分点依次为,在某小弧段上任意取一点，并作和其中，记的最大长度为,则当n无限增大，且时，如果无论对L的分法及的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记作，即我们称之为复变函数的积分，简称复积分,定义3.

4、1.3闭合环路积分当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为，并称为复变函数的闭合环路积分（简称环路积分）.为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向,若沿逆时针方向积分，可用环路积分表示.若沿顺时针方向积分，可用表示.,由此可知，当，且小弧段长度的最大值时，不论对L的分法如何，点的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于连续，则都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到(3.1.3),即我们可以把复积分的计算化为两个二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可把理解为，则上式说明了两个问题：(1)当是连续函数，且L是光滑曲线时，积分一定存在；(2

5、)可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.,3.1.3复积分的基本性质,(1)若沿可积，且由和连接而成，则（3.1.6）(2)常数因子可以提到积分号外，即（3.1.7）(3)函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即,(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即（3.1.9）为的负向曲线(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即(3.1.10)这里表示弧长的微分，即,【证明】因为，其中分别表示曲线上弧段对应的弦长和弧长，两边取极限就得到,（6）积分估值定理若沿曲线，连续，且在上满足，则(3.1.11)其中为曲线的长度,【证明】由于在上恒有，所以又，则成立。,3.1.4复积分的计算典型实

6、例,公式（3.1.2）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分例3.1.1计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段,【解】直线的方程可写成或于是又因由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以的值不论是怎样的曲线都等于，这说明有些函数的积分值与积分路径无关,3.1.5复变函数环路积分的物理意义,而且有对应关系则,故复变函数的环路积分为由场论知识可知：闭合环路积分的物理意义为,实部表示向量场沿曲线的环量虚部表示向量场沿曲线的通量,3.2柯西积分定理,早在1825年柯西

7、给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理）定理3.2.1柯西积分定理如果函数在单连通区域内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域解析），那么函数沿边界L或区域内任意闭曲线的积分为零，即（3.2.1）或（3.2.2）,证明：如图3.2所示，由于对函数在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的再根据格林定理有,由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件代入即得,如果我们在该闭区域内任选某一单连通闭区域，其边界为由上述推导中将,则同理可证明故结论成立.这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古莎(Goursa

8、t)于1900年提出了修改，故又称为柯西古莎定理.,说明：1根据第二章，函数在单连通区域D内及闭曲线L上解析，即为在闭区域解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的；2边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）；,3格林（Green）定理（或格林公式：在单连通区域内，若有连续的偏导数，则其中L是区域的边界；4进一步指出，经

9、修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域内解析，在边界上连续以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立,3.2.2不定积分：复积分的牛顿莱布尼兹公式,定理3.2.3由定理3.2.2知道，解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关，假设是区域内连接和的两条简单曲线，则和分别称为积分的上限和下限，当下限固定，而上限在内变动时，积分可以看作是上限的函数，记为（3.2.4）对，有以下的定理,定理3.2.4如果在单连通域内处处解析，则在D内也解析，并且,【证明】令则因为和是与路径无关的，因此,定理3.2.5任何两个原函数相差一个常数【证明】若均为的原函数，则利用原函数这个关系，我们可以得

10、出：定理3.2.6若函数在单连通域内处处解析，为的一个原函数，那么其中,为中任意两点上式称为复积分的牛顿莱布尼兹公式：,3.2.3典型应用实例,例3.2.2（非闭合环路积分中的换元积分法）计算积分,【解法1】,在整个复平面上解析，且,运用复积分的牛顿莱布尼兹公式有,【解法2】换元积分法令,，则当,，有,；当,，有,所以,例3.2.3求积分并判断闭合环路积分中换元积分法是否成立,【解法1】作积分变换得：,?,例3.2.4计算积分,因而积分与路径无关，可用分部积分法得,【解】由于,在复平面内处处解析，,3.2.4柯西积分定理的物理意义,3.3复合闭路定理,不失一般性，取n1进行证明.有下述定理：,

11、（1）（3.3.3）（2）(3.3.4),定理3.3.2设L和为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图3.5所示，在L内部且彼此不相交，以和L为边界所围成的闭区域全含于D则对于区域D内的解析函数有,总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：(i)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零；(ii)在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）的积分为零；(iii)在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和,关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在有界区域我们规定

12、记号：（i）C代表取逆时针方向积分；（ii）代表顺时针方向积分；（iii）而且成立上述定理3.3.2还说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值因此可得到闭路变形定理,本定理说明：（1）设为包含奇点的任意曲线，且为边界，为边界内的曲线.由图3.6容易看出，当积分路径由变形为曲线时，考虑一个微小区域（不含奇点）的情况来分析，根据柯西定理有,当分区无限多时，两条直线无限接近，且为相反方向。根据积分性质,有故得到综合考虑各个小区域，自然得到(2)例如本章例3.1.3中，当L为以为中心的正向圆周时：，根据闭路变形原理，对于包含的任何一条简单闭曲线,都有成立,例3.

13、3.1计算，其中为圆周，且取正向【解】要注意在内只有一个奇点，将分成为，则由闭路变形定理,3.4柯西积分公式,3.4.1有界区域的单连通柯西积分公式定理3.4.1（柯西积分公式）如果在有界区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D,为L内的任一点，那么(3.4.1)称为柯西积分公式,简称柯西公式但一定要注意其与柯西定理称谓上的区别,由复积分性质知道根据在连续，则对任意小的对应于R足够小，有又显见该积分的值与R无关这就证明了，即为柯西积分公式,它表明：对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了特别地，从这里我们可以得到这

14、样一个重要的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等,【解】（1）注意到在复平面内解析，而在积分环路C内，由柯西积分公式得（2）注意到函数在内解析，而在内，由柯西积分公式得,【解】根据柯西积分公式，得到,故得到,3.4.2有界区域的复连通柯西积分公式,(3.4.3),3.4.3无界区域中的柯西积分公式,上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区域;(2)复连通区域.但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立,1无界区域柯西积分公式定理3.4.3无界区域中的柯西积分公式（当满足时）：若在某

15、一闭曲线L的外部解析，并且当时，则对于L外部区域中的点有(3.4.4)这就是无界区域的柯西积分公式,【证明】为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原点为中心，作一个半径为的大圆，将L和点全部包含在内，则在与L之间的区域解析，如图3.10应用复连通区域的柯西积分公式得到(3.4.5)这一式子的左边与无关，右边第二项也与无关，因而右边第一项也应与无关可以进一步证明，当时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零,事实上，当在上时，因而利用积分不等式性质有其中表示在圆上的最大值，根据条件，且注意到函数的连续性故有时，由上式可知，且前面已经指出，这一积分的值与R无关，因而恒等于零：,故由(3.4.5)得这就是适用

16、于无界区域的柯西积分公式,说明：注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别：（1）有界区域中柯西积分公式中的是闭合曲线内部的一点，而无界区域柯西积分公式中的为外部的一点；（2）应用有界柯西积分公式的条件是在内部解析，而无界区域柯西积分公式的条件是在外部解析，且当时；,（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进行，而无界区域的公式积分沿顺时针方向进行（两种情况下都是正方向，即为沿此方向环行时，所讨论的区域在左手边）故图3.10中的取顺时针方向即为正方向,2.无界区域的柯西积分公式应用推广（当不趋于零时）定理3.4.4假设在某一闭曲线L的外部解析，则对于L外部区域中的点有,【证明】设为包含点的大圆

17、周,因为函数在闭回路的外部解析,故由复连通区域的柯西积分公式得由于在无限远处连续，即任给，有，其中有界，于是,对于有限远点，显然得故成立说明：特别地，当满足时，即，则即退化为定理3.4.3讨论的情形,3.5.1解析函数的无限次可微性（高阶导数公式）作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数请特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在,3.5柯西积分公式的几个重要推论,定理3.5.1解析函数的导数仍为解析函数，它的n阶导数为(3.5.1)其中为的解析区域内并包含的任一简单正向闭曲线，而且它的

18、内部全属于,【证明】如图3.11所示.我们先证的情况.为了理解方便，不妨设在边界C上取值.即要证.设区域D内的点的微小变化量为，其中在区域D内部取值.根据定义由柯西积分公式得到,从而有,由于函数在边界上解析，故在边界上连续且有界.即存在，使得在边界上，设为到边界上的点的最短距离，则,再考虑到是与的微小偏移量，因此可取它满足，则所以其中L为曲线C的长度，如果令，那么，故因为，所以可以重复使用前面的方法，得出,3.5.2解析函数的平均值公式,定理3.5.2若函数在闭圆内及其圆周C上解析，则（3.5.2）即在圆心的值等于它在圆周上值的算术平均值上式称为解析函数的平均值公式,【证明】我们知道上的点可以写成由柯西积分公式有则这表明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上取值的平均值，式(3.5.2)称为解析函数的平均值公式,3.5.3柯西不等式定理3.5.3（柯西不等式）若函数在圆C:内部及其边界上解析，且，则,【证明】由柯西高阶导数公式所以,柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，表明解析函数在解析点的各阶导数的模与它的解析区域大小密切相关,在整个复平面上解析的函数称为整函数例如多项式，,及,都是整函数，常数当然也是整函数应