初中几何经典例题及解题技巧

1、中学几何证明技术和经典问题证明两条线段相等。1 .两个全等三角形对应的边相等。2 .相同三角形中角的等边。3 .等腰三角形顶角的二等分线或底边的高二等分底边。4 .平行四边形的对边或对角线被交点分隔的两条线段相等。5 .从直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。6 .从线段垂直平分线上的任意点到线段平分线的距离相等。7 .角平分线的任意点到角的两边距离相等。8 .通过三角形一边的中点，与第三边平行的直线分成第二边的线段相等。*9.同圆(或等圆)中圆弧对的弦，或距中心等距离的二弦或等圆心角、圆周角对的弦相等。*10 .圆外侧的一点画圆的两条切线的切线长度相等，或者与圆内侧的直径垂直的弦被直径隔

2、开的两条切线长度相等。11 .两个前项(或两个后件)相等的比例式的两个后件(或两个前件)相等。*12 .两圆内(外)共切线的脸相等。13 .相等于同一线段的两条线段相等。证明两个角相等1 .两个全等三角形的对应角相等。2 .同一三角形中等边的对等角。3 .在等腰三角形中，底边上的中心线(或高度)将顶角二等分。4 .两条平行线的同位角、内误角或平行四边形的对角相等。5 .同角(或等角)的馀角(或补角)相等。*6.在同圆(或圆)中，等弦(或圆弧)对的中心角相等，圆周角相等，弦的切线角与被夹在其间的圆弧对的圆周角相等。*7.圆外的一点画出圆的两条切线，中心和这一点的切线将两条切线二等分的角度。8 .

3、相似三角形的对应角相等。*9.圆的内接四边形外角等于内角。10 .相同角的两个角相等。证明两条直线互相垂直。1 .等腰三角形的顶角平分线或底边的中心线与底边垂直。2 .三角形一边的中心线等于这边的一半，这一边的对角是直角。3 .一个三角形，两个角互补后，第三个角成为直角。4 .相邻角的平分线相互垂直。5 .如果直线垂直于平行线的一方，则必须垂直于另一方。6 .两条直线直角相交时，两条直线垂直。7 .利用到一线两端的距离相等的点，在线段的垂直二等分线上画一条线。8 .利用毕达哥拉斯定理的逆定理。9 .利用菱形对角线相互垂直。*10 .在圆中平分弦(或弧)的直径与弦垂直。*11 .利用半圆上的圆周

4、角为直角。证明两条直线是平行的1 .与同一直线垂直的各直线平行。2 .同位角相等，内误角相等，或者横内角互补的两条直线平行。3 .平行四边形的对边平行。4 .三角形的中央线与第三边平行。5 .梯形的中央线与两底平行。6 .平行于同一直线的两条直线平行。7 .一条直线切去三角形的两边(或延长线)的线段成比例时，该直线与第三边平行。证明线段的和差1 .取两条线段之和，就证明等于第三条线段。2 .在第三线段上剪切与第一线段相等的线段，以证明其馀部分与第二线段相等。3 .把短线段延长两倍，证明与长线段相等。4 .取长线段的中点，证明其一半等于短线段。5 .利用几个定理(三角形的中央线、包含30度的直角

5、三角形、直角三角形斜边上的中心线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。证明角之和的差1 .与证明线段之和、差、倍、想法相同。2 .利用平分线的定义。3 .三角形的一个外角，等于不邻接它的两个内角之和。证明线段不同1 .在同一个三角形中，大角朝向大边。2 .垂线最短。3 .三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4 .两个三角形中，两边各自相等角度不同时，角度大的第三边大。*5.同圆或等圆时，弧弦大，弦心距离小。6 .总量大于其中的一部分。证明两角的差异1 .在同一个三角形中，大边朝向大角。2 .三角形外角，比不邻接它的内角大。3 .两个三角形中，两边分别相等，三边不相等，三边大，两边角度

6、也大。*4.同圆或等圆中，弧大的圆周角、中心角大。5 .总量大于其中的一部分。证明尺度式或等积式1 .利用相似三角形与线段成比例。2 .利用内外平分线定理。3 .平行线的切片成比例。4 .射影定理，是直角三角形中的比例项定理。*5.关于圆的比例定理-交叉弦定理、切断线定理及其推论。6 .利用比利式和等积式。证明四分是正圆*1.对角互补的四边形顶点为圆。*2.外角相等于内对角的四边形内接于圆。*3.底边等顶角三角形的顶点为正圆(顶角与底边同一侧)。*4.连接斜边的直角三角形的顶点和圆。*5.到顶点的距离相等的各点共享圆知识摘要：1 .几何证明是平面几何中的重要问题，对学生逻辑思维能力的培养有着很

7、大的作用。 几何证明有两种基本类型。 一是平面图形的数量关系；二是平面图形的位置关系。 这两种问题通常可能相互转化，例如，证明平行关系可能转化为证明角，或角为互补问题。2 .掌握分析、证明几何问题的一般方法(1)综合合法性(原因结果)从已知条件通过定义、定理、公理的应用，逐步走向问题的解决(2)分析法(执行结果的原因)根据命题的结论，推敲使其成立所需要的条件，然后将必要的条件视为证据的结论，继续推敲，反过来求得事实(3)双头凑法：分析和合法并用，比较分析法有利于思考，合法容易表现，在实际考虑问题时，并用，灵活处理，缩短问题设定和结论的距离，最终达到证明目的。3 .把握结构基本图形的方法：复杂图

8、形都是由基本图形构成的，所以必须善于把复杂图形分解成基本图形。 在很多情况下，需要构建基本图形，在构建基本图形时，需要集中条件，添加辅助线以转换问题。1 .证明线段相等或角相等两个线段或两个角相等是平面几何证明中最基本和最重要的相等关系。 其他许多问题最后可以分为这种问题来证明。 证明两条线段和两个角相等的最常用的方法是利用全等三角形的性质，此外，还可以使用线段的垂线的性质、平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等。例1 .如图1所示，在中间。求证： de=df分析：从等腰直角三角形可以看出，d在ab的中点，可以考虑连接cd，容易得到。 所以，很容易找到。证书：链接光盘说明：在直角三角形中，形成

9、斜边上的中心线是一般的辅助线；在等腰三角形中，顶角的二等分线或底边上的中心线或高度是一般的辅助线。 等腰直角三角形中，cd是斜边上的中心线，因为是底边上的中心线，所以显然应该连接cd。 本题可以从ed延长到g，连接dg=de、bg，证为直角等腰三角形。如图2所示，已知ab=cd、ad=bc和ae=cf。 求证： e=f证明：链路交流在和中在和中说明：证明三角形的全等线段的求角相等。 经常添加辅助线，形成等边三角形。 此时请注意。(1)制造的全等三角形应分别包含求证中的数量(2)通过附加辅助线可以直接得到的两个全等三角形。2 .证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行和垂直是两个特殊的位置

10、。 可以证明两条直线平行，也可以用同相位角、内误差角或同旁内角的关系来证明，还可以用边对应比例、三角形中央线定理来证明。 证明两条直线垂直可以证明一个角等于90，或者使用两个锐角互补或等腰三角形的“三线匹配”来证明。例3 .如图3所示，bp、cq为内角二等分线，ah、ak分别设为从a到bp、cq的垂线。 求证： khbc分析：已知的话，bh把abc平分，再延长bhah，把ah与n相交的话，就成为ba=bn，ah=hn。 同样，当将ak正交bc延长为m时，ca=cm、ak=km。 从三角形的中央线定理知道khbc。证明： ah交叉bc延长到n，ak交叉bc延长到mbh将abc一分为二另外bhah

11、 bh=bh同样，ca=cm、ak=km是中央线即kh/bc说明：三角形与平分线、中线、高线重叠时，该三角形必须是等腰三角形。 也可以理解为把直角三角形沿着直角边折回(轴对称)的等腰三角形。如图4所示，ab=ac。求证： fded证明1 :链接ad在和中说明：有等腰三角形的条件时，底边上的高度、底边上的中心线或顶角二等分线为常用辅助线。证明2 :将ed延长到m，dm=ed，并连接fe、fm和bm，如图5所示说明：证明两条直线垂直的方法如下(1)首先分析条件，观察是否可以通过提供垂直定理得到，包括追加常用辅助线，参照本题证2。(2)找到要证明的由三条直线组成的三角形，证明其中两个锐角互相互补。(

12、3)证明两条直线的角度等于90。3 .证明线段和问题(1)在长线段上剪切线段等短线段，证明其馀部分与另一短线段相等。 (切片法)例5 .如图6所示，已知中、uuuuuuuuuuuuur的二等分线ad、ce与o相交。发票： ac=ae cd分析：在交流中剪裁af=ae。 容易理解。 知道理由。 取得：证明：用ps拦截ps=ps又来了也就是说(2)如果延长短线段，延长的部分与另一短线段相等，则短线段成为一个线段，证明与长线段相等。 (补充法)如图7所示，已知在正方形abcd中，f在dc以上，e在bc以上。求证： ef=be df分析：这个问题按例子1来看很难，有难以利用正方形的条件。 请将cb延长

13、到g，使bg=df。证明：将cb延长到g，设bg=df在正方形abcd中又来了即gae=fae考试题：如图8所示，被称为正三角形，从bc延长d，从ba延长e，作为ae=bd，将ce、de连接起来。求证： ec=ed证明：将be作为df/ac交给f是正三角形是正三角形又来了即ef=ac基于标题的演示：证明几何不等式：例题：如图9所示。寻求证据：证明1 :将ac延长到e，并连接ae=ab、de在和中证明2 :将af=ac剪切到ab，并将df链接到ab，如图10所示很容易证明说明：在有平分线条件的情况下，经常以平分线为轴，将构造全等的三角形折回，即常用辅助线。实战模拟：1 .如图11所示，其中d是ab上一点，decd是d，bc是e，然后。 寻求证据：2 .如图12所示，其中，cd是c的平分线。寻求证据： ps=ps s3 .如图13所示，已知过去的顶点a在a内任意画光线，通过b、c制作该光线的垂线bp与cq。 把m作为bc的中点。求证： mp=mq4 .那么，在d处，要求证明书【问题的答案】1 .证明：取cd的中