第9章 矩阵位移法

1、结构力学II,第9章矩阵位移法,2,为什么要学习矩阵位移法?,现代的建筑结构日益复杂，杆件数目庞大，传统的以手算为基础的力法和位移法不可能有效解决大型复杂结构的受力分析问题，因此需要借助于计算机来完成电算工作，也即需要通过结构分析程序来进行结构受力分析。,当今众多著名的结构分析程序都是基于有限元思想开发的，而矩阵位移法也被称为杆件结构的有限元方法。,对于杆件繁多的复杂杆系结构，需要借助于现代结构分析程序完成结构计算，其基本理论就是基于矩阵位移法的思想,矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。矩阵位移法的基本思路矩

2、阵位移法的基本步骤是（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，,9.1引言,9.2单元分析,单元分析：对杆件轴线上无直接荷载作用、仅在端部受力的杆件进行力学分析，找出两端所有杆端力和所有杆端位移之间的线性变换关系，并以矩阵形式表达出来。这种物理性质的方程，通称单元刚度方程，而其变换矩阵则成为单元刚度矩阵。,9.2.1轴力杆单元,9.2单元分析,虎克定律：,矩阵表达,引入,单元刚度方程,轴力杆单元主要用于平面桁架的矩阵分析,9.2.2平面弯曲杆件单元,9.2单元分析,基于转角位移方程可建立杆端力与杆端位移的关系：,矩阵表达,9.2.2平面弯曲杆件单元,9.2单元分析,只与杆件本身性质有

3、关,与外荷载无关,单元刚度矩阵的性质,单元刚度系数的物理意义,kij代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。,根据反力互等定理，单元刚度矩阵ke恒为对称矩阵,用直接展开方法不难从数学上证明，单元刚度矩阵ke的行列式为0，因此ke是奇异矩阵，不存在逆矩阵。即已知杆端位移向量可以求得对应的杆端力向量，但如果给定力向量，则不能求出杆端位移向量的唯一解。这是因为，无支承约束的自由杆件，除去弹性变形外，还存在刚体位移，后者单凭静力平衡条件是无法确定的。,9.2.3一般平面杆件单元,9.2单元分析,由小变形线弹性理论，忽略轴向、弯曲受力之间的耦联关系，其刚度方程可由轴力单元与平面弯曲单

4、元组装而成：,杆端力向量与杆端位移向量,9.2.3一般平面杆件单元,9.2单元分析,刚度矩阵的分块表达,EAl,6EIl2,6EIl2,EAl,12EIl3,12EIl3,4EIl,2EIl,0,0,0,0,0,0,6EIl2,0,6EIl2,0,-EAl,-6EIl2,-6EIl2,EAl,-12EIl3,12EIl3,2EIl,4EIl,0,0,0,0,0,0,-6EIl2,0,6EIl2,0,通过单元刚度方程可由单元杆端位移求单元杆端力。,9.3整体分析,在单元分析基础上，根据变形协调和静力平衡条件对结构进行集零归整，形成结构的整体刚度矩阵，确立联系全体结点荷载和结点位移之间的线性变换关

5、系。,图示一两跨连续梁，各跨的抗弯刚度系数均为已知常量，结点荷载是已知的集中力矩，结点编码和单元编码如图中所示。,由结点静力平衡条件可知：,由结点变形连续条件可知：,由简支单元刚度方程可知：,连续梁整体刚度矩阵,已知的结点荷载向量,未知的结点位移向量,结构整体刚度方程,9.4直接刚度法,杆件的局部编码与结构的整体编码之间的匹配关系,1,2,2,1,k(2)=,2,3,3,2,K=,4i1,2i1,2i1,2i2,2i2,4i2,4i1,4i1+4i2,对号入座,9.4直接刚度法,直接刚度法形成整体刚度矩阵概念清晰，易于用计算机实现，可推广至各种类型的结构，均普遍适用。,整体刚度矩阵k应为55,

6、带状稀疏矩阵：具有大量0元素，非0元素主要集中在主对角线及其两侧近邻。,主对角线元素,次对角线元素,结构的刚度矩阵具有“中心带状”和“稀疏性”的特征。,9.5边界支承条件处理,前述的“直接刚度法”是以每个结点都有未知位移为前提进行操作，这样装配过程单一，通用性强，便于计算机程序实现。,对于某些特殊边界支承，如梁的固定端，结点位移往往是已知的，而结点荷载却是未知的。在这种情况下，需根据实际的边界支承条件，对直接刚度法形成的k进行针对性修改。,没有改变整体刚度矩阵已经形成的排列次序和矩阵阶数,9.6非结点荷载移置,当结构跨间受到非结点荷载作用时，应先按静力等效原则将它移置到邻近的结点上，使之变成仅

7、有结点荷载作用的结构，然后才能进行矩阵位移法分析。,等效结点荷载FP,原荷载,固端约束力FF,固端约束力FF,显然FP=FF解决了计算等效结点荷载的问题,计算单元的杆端内力时，应考虑两个组成部分：,结点位移对应的杆端力,非结点荷载引起固端力,9.6非结点荷载移置,三种常见荷载引起的固端力,9.7连续梁的矩阵分析,将原结构在“概念上”进行离散，明确被离散的结点数和杆元数，并作整体编码和局部编码。根据未知结点位移向量和已知结点荷载向量的阶数（n1），贮备整体刚度矩阵的空留地址的阶数（nn）。对各杆元作单元分析，形成单元刚度矩阵ke；再根据局部编码与整体编码的匹配关系，利用直接刚度法，将各单元的ke

8、在nn阶地址中对号入座，形成结构的整体刚度矩阵k。求出各杆元在跨间直接荷载作用下的固端力，确定结构的综合等效结点荷载，建立结构的整体刚度方程。计入边界支承条件，修改整体刚度矩阵k和结点荷载向量FP，形成实际结构的刚度方程，解得全体结点位移。根据叠加原理，计算各杆的杆端弯矩。,解:（1）按图示结点与杆元的整体编码，各杆的固端弯矩依次为：,（2）各杆的单元刚度矩阵均为：,结构的等效结点荷载,例9.1图示一等截面三跨连续梁，各跨跨长l=4m，抗弯刚度系数i=EI/l均为相同的已知常量。试用矩阵位移法求出中间支承结点的角位移和各杆的杆端弯矩。,9.7连续梁的矩阵分析,(3)直接刚度法集成整体刚度矩阵,

9、例9.1图示一等截面三跨连续梁，各跨跨长l=4m，抗弯刚度系数i=EI/l均为相同的已知常量。试用矩阵位移法求出中间支承结点的角位移和各杆的杆端弯矩。,9.7连续梁的矩阵分析,例9.1图示一等截面三跨连续梁，各跨跨长l=4m，抗弯刚度系数i=EI/l均为相同的已知常量。试用矩阵位移法求出中间支承结点的角位移和各杆的杆端弯矩。,(4)引入固定端边界条件,(5)求解结构矩阵位移法方程,9.7连续梁的矩阵分析,（5）求各跨杆端弯矩：,例9.1图示一等截面三跨连续梁，各跨跨长l=4m，抗弯刚度系数i=EI/l均为相同的已知常量。试用矩阵位移法求出中间支承结点的角位移和各杆的杆端弯矩。,9.7连续梁的矩

10、阵分析,9.8坐标变换,9.8.1杆端力向量间的坐标变换,坐标变换矩阵T,从整体转到局部,与杆端力的坐标变换相似，可得：,坐标变换矩阵T,从整体转到局部,9.8.3变换矩阵T的正交性,可得从局部到整体的变换：,9.8坐标变换,9.8.2杆端位移向量间的坐标变换,9.8坐标变换,9.8.4整体坐标系中的单元刚度矩阵,表示任意杆件在局部坐标系中的单元刚度矩阵，则其刚度方程可表为：,同时左乘TT,9.8坐标变换,例9.2试求图9.11所示刚架中杆和杆在整体坐标系中的单元刚度矩阵。已知各杆的几何物理参数分别为：,（1）求各杆在局部坐标系中的单元刚度矩阵。,一般平面杆件的单元,9.8.4整体坐标系中的单

11、元刚度矩阵,9.8坐标变换,（1）求各杆在整体坐标系中的单元刚度矩阵。,单元：,单元：,9.9平面刚架的矩阵分析,一般情况下，每根杆端都有三个位移自由度，即一个角位移和两个正交方向的线位移，因而单元刚度矩阵的阶数要由22扩大到66。必须引入局部和整体两个坐标系：先形成局部坐标系的单元刚度矩阵，再利用坐标变换获取整体坐标系的单元刚度矩阵。结构的整体刚度矩阵，必须在统一的整体坐标系中集成；结构的等效结点荷载，也必须在整体坐标系中综合。因此，须先计算局部坐标系中的固端力，再通过坐标变换式推出整体坐标系中的固端力，然后进行必要的叠加。求出整体坐标系中的杆端力向量后，还需通过坐标逆变换，才能得到各杆的杆

12、端弯矩、剪力和轴力。,矩阵位移法用于平面刚架的基本步骤与用于连续梁大体相同，但计算过程要复杂许多，这主要表现在以下几个方面：,9.9平面刚架的矩阵分析,例9.3试求图示刚架的结点位移和杆端内力。设结构的几何尺寸和各杆的物理参数均与例9.2相同。,（1）确定刚架的等效结点荷载,在局部和整体坐标系中的固端力是一样的,单元：,9.9平面刚架的矩阵分析,例9.3试求图示刚架的结点位移和杆端内力。设结构的几何尺寸和各杆的物理参数均与例9.2相同。,（1）确定刚架的等效结点荷载,单元：,局部,整体,9.9平面刚架的矩阵分析,例9.3试求图示刚架的结点位移和杆端内力。设结构的几何尺寸和各杆的物理参数均与例9

13、.2相同。,将单元和单元的固端力反其指向作用在相应的结点上，并在结点2作叠加处理后，即得刚架的等效结点荷载为：,（1）确定刚架的等效结点荷载,9.9平面刚架的矩阵分析,例9.3试求图示刚架结点位移和杆端内力。设结构的几何尺寸和各杆的物理参数均与例9.2相同。,（2）集成刚架的整体刚度矩阵k,单元,单元,9.9平面刚架的矩阵分析,例9.3试求图示刚架结点位移和杆端内力。设结构的几何尺寸和各杆的物理参数均与例9.2相同。,（3）计入边界支承条件，建立整体刚度方程。,修改整体刚度方程,9.9平面刚架的矩阵分析,例9.3试求图示刚架结点位移和杆端内力。设结构的几何尺寸和各杆的物理参数均与例9.2相同。

14、,（4）解矩阵位移法方程可得：,（5）计算各杆的杆端力：,单元,9.9平面刚架的矩阵分析,例9.3试求图示刚架结点位移和杆端内力。设结构的几何尺寸和各杆的物理参数均与例9.2相同。,（5）计算各杆的杆端力：,单元,9.10平面桁架的矩阵分析,杆端力向量,杆端位移向量,扩充,与此相应，桁架杆件的坐标变换矩阵也应该是44阶。,其中:,桁架杆件在整体坐标系中的单元刚度矩阵,9.10平面桁架的矩阵分析,例9.4试求图9.15所示桁架的结点位移和杆件内力，设各杆EA均相同。,(1)建立桁架整体坐标系(x-y)，单元局部坐标系(箭头方向)，结点和单元整体编码如图中所示。,(2)求整体坐标系中单元刚度矩阵,

15、单元：,单元：,9.10平面桁架的矩阵分析,例9.4试求图9.15所示桁架的结点位移和杆件内力，设各杆EA均相同。,(2)求整体坐标系中单元刚度矩阵,单元：,单元：,单元：,9.10平面桁架的矩阵分析,例9.4试求图9.15所示桁架的结点位移和杆件内力，设各杆EA均相同。,(3)集成桁架的整体刚度矩阵,单元,单元,单元,单元,单元,9.10平面桁架的矩阵分析,例9.4试求图9.15所示桁架的结点位移和杆件内力，设各杆EA均相同。,(3)集成桁架的整体刚度矩阵,直接刚度法集成的整体刚度方程,9.10平面桁架的矩阵分析,例9.4试求图9.15所示桁架的结点位移和杆件内力，设各杆EA均相同。,(3)

16、集成桁架的整体刚度矩阵,引入边界条件后的整体刚度方程,9.10平面桁架的矩阵分析,例9.4试求图9.15所示桁架的结点位移和杆件内力，设各杆EA均相同。,(4)计算桁架杆件的内力,9.10平面桁架的矩阵分析,例9.4试求图9.15所示桁架的结点位移和杆件内力，设各杆EA均相同。,(4)计算桁架杆件的内力,图中的支座反力是根据平衡条件求得的,9.10平面桁架的矩阵分析,9.11边界条件的前处理和后处理,后处理法：概念明晰，程序简单，初学者易于理解和掌握；缺点是往往需要较多不必要的内存空间,前处理法：在整体刚度矩阵k集成之前处理边界支承条件。,因刚架中的两个边界结点都是固定支承，它们的所有位移分量

17、已知为零，其总码都编为“0”。并且规定，凡编码为“0”的结点，一律不设置网址，只有位移分量未知的结点（如图中的结点“1”）才可进入提供的内存空间。,（1）前处理法结点整体编码如图中所示：,（2）整体坐标系中的单元刚度矩阵,对于横梁单元,9.11边界条件的前处理和后处理,对于吊杆单元,例9.5在图示组合结构中，已知l=20m,h=15m；横梁的抗弯刚度和抗拉刚度分别为EI和EA=2EI/m2；两根吊杆的抗拉刚度均为E0A0=0.05EI/m2。试求其在图示结点荷载作用下的内力。,9.11边界条件的前处理和后处理,(3)集成整体刚度矩阵k,单元,单元,单元,单元,例9.5在图示组合结构中，已知l=20m,h=15m；横梁的抗弯刚度和抗拉刚度分别为EI和EA=2EI/m2；两根吊杆的抗拉刚度均为E0A0=0.05EI/m2。试求其在图示结点荷载作用下的内力