第2章 优化设计基础

1、第二章优化设计的数学基础,机械设计问题一般是非线性规划问题。,实质上是多元非线性函数的极小化问题，因此，机械优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的。,机械优化设计问题分为：,无约束优化,约束优化,无条件极值问题,条件极值问题,第一节多元函数的方向导数与梯度,一、方向导数,从多元函数的微分学得知，对于一个连续可微函数f(x)在某一点的一阶偏导数为：,它表示函数f(x)值在点沿各坐标轴方向的变化率。,有一个二维函数，如图2-1所示。,图2-1函数的方向导数,其函数在点沿d方向的方向导数为,二、二元函数的梯度,即,三、多元函数的梯度,沿d方向的方向向量,即,图2-5梯度方向与等值面的关系,若目标

2、函数f(x)处处存在一阶导数，则极值点的必要条件一阶偏导数等于零，即,满足此条件仅表明该点为驻点，不能肯定为极值点，即使为极值点，也不能判断为极大点还是极小点，还得给出极值点的充分条件,设目标函数在点至少有二阶连续的偏导数，则,在这一点的泰勒二次近似展开式为：,第二节多元函数的泰勒展开,泰勒展开写成向量矩阵形式,（1）F(X*)=0；必要条件（2）Hesse矩阵G(X*)为正定。充分条件,多元函数f(x)在处取得极值，则极值的条件为,为无约束极小点的充分条件,其Hesse矩阵G(X*)为正定的。,则极小点必须满足,为无约束优化问题的极值条件,同学考虑二元函数在处取得极值的充分必要条件。,各阶主

3、子式大于零,例：求函数的极值,第四节凸集、凸函数与凸规划,前面我们根据函数极值条件确定了极小点,则函数f(x)在附近的一切x均满足不等式,所以函数f(x)在处取得局部极小值，称为局部极小点。,而优化问题一般是要求目标函数在某一区域内的全局极小点。,函数的局部极小点是不是一定是全局极小点呢？,图2-7下凸的一元函数,一、凸集,的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。,一个点集（或区域），如果连接其中任意两点,凸集的性质,二、凸函数,函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的,称,是定义在凸集上的一个凸函数。,三、凸性条件,1.根据一阶导数（函数的梯度）来判断函数的凸性,设f

4、(x)为定义在凸集R上，且具有连续的一阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件是对凸集R内任意不同两点，不等式,恒成立。,2.根据二阶导数（Hesse矩阵)来判断函数的凸性,设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件,Hesse矩阵在R上处处半正定。,四、凸规划,对于约束优化问题,凸规划的性质：,3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解,第五节等式约束优化问题的极值条件,约束优化,等式约束,不等式约束,求解这一问题的方法,消元法,拉格朗日乘子法,1.消元法（降维法）,以二元函数为例讨论。,二、拉格朗日乘子法（升维法）,对于具有L个等式约束的n

5、维优化问题,处有,将原来的目标函数作如下改造：,拉格朗日函数,待定系数,新目标函数的极值的必要条件,例2-4用拉格朗日乘子法计算在约束条件,的情况下，目标函数,的极值点坐标。,作业1判断凸性,2用拉格朗日乘子法计算在约束条件,的情况下，目标函数,的极值点坐标。,第六节不等式约束优化问题的极值条件,在工程中大多数优化问题，可表示为不等式约束条件的优化问题。,有必要引出非线性优化问题的重要理论，是不等式约束的多元函数的极值的必要条件。,库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件,一、一元函数在给定区间上的极值条件,一元函数f(x)在给定区间a,b上的极值问题，可以写成下列具有不等式约束条件的优化问题

6、：,拉格朗日乘子法，除了可以应用于等式的极值问题，还可以用于不等式的极值问题。,需引入松弛变量，将不等式约束变成等式约束。,设a1和b1为两个松弛变量，则上述的不等式约束可写为：,则该问题的拉格朗日函数,根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件：,由,（起作用约束）,（不起作用约束）,同样，来分析起作用何不起作用约束。,因此，一元函数在给定区间的极值条件，可以表示为：,多元,库恩-塔克条件,分析极值点在区间的位置，有三种情况,即,即,从以上分析可以看出，对应于不起作用的约束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用约束的下标集合。,一元函数在给定区间的极值条件，可以改写为：,极值条件中只考虑起作用的约束和相应的乘子。,二、库恩-塔克条件,仿照一元函数给定区间上极值条件的推导过程，可以得到具有不等式约束多元函数极值条件：,用起作用约束的下标集合表示,用梯度形式表示，可得,或,库恩-塔克条件的几何意义：在约束极小点处，函数的负梯度一定能表示成所有起作用约束