电磁场与微波第2章电磁场的基本理论

1、第2章 电磁场的基本理论,2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律 2.2 静电场 2.3 恒定电场 2.4 恒定磁场 2.5 时变电磁场,2.1 电磁场中的基本物理量和基本实验定律,带电体的电荷以离散的方式分布：q（代数量）=e的正或负整数倍,2、点电荷 当带电体的几何尺寸远小于观察点至带电体的距离时，将带电体电荷看成集中在带电体的中心上，带电体抽象为一个几何点模型。相对意义上的概念。,一、电荷及电荷密度 1、基本电荷的电量,3、连续分布的电荷及电荷密度,体电荷分布： 电荷体密度,面电荷分布： 电荷面密度,线电荷分布： 电荷线密度,2、恒定电流：电荷流动的速度不随时间改变,3、体电流分布的

2、体电流（面）密度 A/m2,式中en为电流密度J 的方向，也是面积元S的正法线单位矢量。 即：空间任一点J 的方向是该点正电荷运动的方向，大小等于在该点与en垂直的单位面积的电流。,任意截面的电流是电流密度矢量在此面积上的通量。,二、电流及电流密度 1、电流强度 (代数量)： A(安培),注意： 面电流是在厚度为零的表面上流过的电流，其所占体积为零，是一种抽象的概念。 体电流密度是有限值，在体积为零的表面上流过的电流为零。,5、线电流分布的电流元：I dl,4、面电流分布的面电流（线）密度：,F/m真空的介电常数,F12表示q1对q2的作用力,真空中有N个点电荷时，位于r 处的点电荷q 受到的

3、作用力等于其它点电荷对q 的作用力的叠加：,三、库仑定律和电场强度 静电场：空间位置固定、电量不随时间变化的电荷产生的电场。,1、库仑定律 两个点电荷之间相互作用力的定量描述。,是从q1指向q2的单位矢量,真空中，两个点电荷q1和q2 ，有,电场强度是一个矢量函数 电场强度的大小等于单位正电荷在该点所受电场力的大小 电场强度的方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致,n个点电荷的电场：,2、电场强度 （q0：试验电荷）,4、连续分布电荷的电场强度,面电荷分布,体电荷分布,线电荷分布,四、安培力定律和磁感应强度 1、安培力定律 真空中电流回路之间的相互作用力的规律。,电流回路之间相互作用力通过磁场

4、传递。,式中真空中的磁导率 H/m,2、磁感应强度（或磁通密度）,B磁感应强度（又称磁通密度），单位： T（特斯拉）或Wb/m2（韦伯/米2）或Gs(高斯），1Gs=10-4 T。 磁感应强度B是矢量函数，表征磁场特性的基本场量，与回路C1的位置和形状以及电流的大小和方向有关。,毕奥-沙伐定律,体分布电流,面分布电流,2.2 静电场,一、真空中静电场的基本方程 1、静电场的散度和高斯定律,高斯定律的微分形式,即：空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。,即：电场强度矢量穿过闭合曲面S的通量等于该闭合面所包围的总电荷与0之比。,2、静电场的旋度,静电场是无旋场（保

5、守场）,利用斯托克斯定理,即：静电场中，沿任意闭合路径C的积分恒等于零。其物理含义是将单位正电荷沿静电场中的任意闭合路径移动一周，电场力不做功。,例2.4：利用高斯定律，求无限长线电荷l 在任意点P产生的电场强度。 解：,3、高斯定律应用：只有具有一定对称性的场才能得到解析解。,a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。,b）选择合适的高斯面，使电通量积分简化为,有以下几种对称情况：,1）球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。,2）轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。,3）无限大平面对称：包括无限大的均匀带电平面，平板等。,问题： 高斯定律应用的范

6、围？ 高斯定律应用的方法？,例2.5：利用高斯定律求电场强度。已知电荷分布于一个半径为a的球形区域内，电荷体密度为 （其中0为常数）。,解：,二、电位 1、电位的引入,式中静电场的电位函数（简称为电位），单位为V（伏特）。其中的负号表示E 的方向与电位梯度的方向相反，即E 指向电位函数最大减小率的方向。,2、电位差(电压）,静电场中两点间的电位差定义为此两点间的电压（单位V），物理意义是移动一个单位正电荷从一点到另一点电场力所作的功。,电位与电场强度的微分关系,点电荷,体电荷,标量电位函数的引入，将静电场的矢量场问题变成了标量场问题。,3、电位的计算公式,点电荷系,线电荷,面电荷,为了得到确定

7、的电位值，人为地选定空间某点P为电位参考点（即电位零点）。,故：电场中某一点的电位等于单位试验正电荷在电场作用下从该点位移到电位参考点时电场力所做的功。,4、电位的确定,若选取无穷远处为电位参考点，任意点A的电位为,同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。,5、电位参考点的选择原则,电位与电场强度的积分关系,电荷分布在有限区域时，一般选取无穷远处为电位参考点； 电荷分布延伸到无限远区时，必须选取有限区域中的点为电位参考点； 在工程上，由于大地的电位相对稳定，一般取大地为电位参考点。,例2.6：求例2.5中全空间的电位分布。 解：,*例2.7 电偶

8、极子是由带有等量异号电荷、相距一个小距离l的一对点电荷组成的电荷系统。电偶极矩 p=ql（负电荷正电荷）,电位的泊松方程,6、电位的微分方程,在自由电荷体密度=0的区域内，有,电位的拉普拉斯方程,直角坐标系中 拉普拉斯算符,静电场中，已知 E,三、电介质中的高斯定律及边界条件,1、电介质分子和介质极化： 无极性分子：正、负电荷中心重合 有极性分子：正、负电荷中心不重合 无外电场时，无极性分子和有极性分子组成的介质都呈电中性。, 电偶极子 产生电场 原电场改变,电偶极子可以用电偶极矩描述。,2、极化强度P：表示电介质的极化程度 式中p为体积元内电偶极矩的矢量和，P的方向从负束缚电荷指向正束缚电荷

9、，单位为C/M2（库/米2）。,实验表明：常用（各向同性、线性、均匀）介质，极化强度P与电介质中的合成电场强度E成正比，即：P=e0E（e：电介质的电极化率，无量纲）。,考虑介质极化，原电介质所占空间视为真空， 电介质区域的电场=自由电荷产生的外电场 +束缚电荷产生的附加电场 束缚电荷产生的附加电场是由束缚电荷面密度为SP=Pen的束缚面电荷和电荷体密度为P= -P的束缚体电荷在真空中共同产生的场。,3、电介质中的高斯定律,由真空中高斯定律得,电通（量）密度或电位移矢量C/m2,电介质中高斯定律的微分形式,电介质内任一点的电位移矢量的散度等于该点的自由电荷体密度，即D的通量源是自由电荷，电位移

10、线从正的自由电荷出发而中止于负的自由电荷。,应用散度定理,电介质中高斯定律的积分形式,电位移矢量穿过一闭合面的通量等于该闭合面内的自由电荷的代数和。,4、电介质的本构关系,对常用（线性、均匀、各向同性）电介质,电介质的相对介电常数，无量纲,电介质的介电常数，单位：F/m,电介质的本构关系,在线性、均匀、各向同性电介质中D和E的方向相同，大小成正比。,各向同性：媒质的参数不随电场的方向而改变，与电场的方向无关；反之称为各向异性。,线性：媒质的参数不随电场的值而变化，与电场的大小无关。,均匀：媒质的参数不随空间坐标而变化，与坐标无关。,或,若分界面上不存在自由面电荷，即 S =0，则有,表明：在两

11、种电介质的分界面上存在自由面电荷分布时，D 的法向分量是不连续的，其不连续量就等于分界面上的自由电荷面密度；若分界面上不存在自由面电荷，则D 的法向分量是连续的。,(1)电位移矢量的边界条件,5、静电场的边界条件,边界条件：场量在不同媒质分界面上满足的关系。,或,表明：在两种电介质的分界面上E 的切向分量总是连续的。,(2)电场强度的边界条件,(3)电位函数的边界条件,设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d0,则,即：在介质分界面上，电位是连续的。,即：电位的法向导数是不连续的。,四、静电场的能量,假设： 建立电场过程中没有能量损耗； 电荷分布给定，电场确定，电场能量就确定，与实现这一分

12、布过程中外力移动电荷的方式或途径无关。即电场的建立与充电过程无关。 在充电过程中，各点的电荷密度按最终值的同一比例因子(1)增加，各点的电位也按同一比例因子增加。,空间区域：电荷分布电场电场能量 据能量守恒定律：电场能量等于在建立电场的过程中，外力移动电荷使电荷达到一定的分布所做的功。,整个空间增加d外力做功,整个充电过程外力做功,时刻t：电荷分布，电位分布， +d() 送入微分电荷增量dd，外力作功 dd(),对于面电荷系统,单个带电导体的电场能量为,带等量异号电荷的双导体的电场能量为,上式中第一项为零, 扩大到无限空间 S 半径取的球面,静电能量密度,静电场不为零的空间都储存着静电能量。,

13、例2.10 同轴线内导体半径为a、外导体内半径为b，内、外导体间填充介电常数为的介质，外加电压为U，求同轴线单位长度内储存的电能。 解：,设内、外导体单位长度带电量分别为+l和-l ，应用高斯定律,则内、外导体间的电压为,单位长度的电容为,一、恒定电场的基本方程,2.3 恒定电场,传导电流：在导电媒质（导体或漏电介质）中产生的电流。 运流电流：在真空或气体中产生的电流。 恒定电场：由恒定电流产生的电场。,应用散度定理：,对恒定电流，电荷在空间的分布不随时间改变，电流连续性方程为,即：对于任取的闭合面，总有部分表面上电荷从闭合面内向外流出，同时另外部分表面上电荷则从外向内流进，这两部分电流大小相

14、等，符号相反，因而从闭合面内流出的净电流为零。同时闭合面包围的体积内电荷分布也就不随时间改变，呈一种稳定状态。源和场都不随时间改变，是保守场，无旋场，有,二、导电媒质中的传导电流,线性、均匀、各向同性的导电媒质内任意一点的电流密度矢量J和电场强度E成正比，即 J=E 导电媒质本构关系（欧姆定律的微分形式） 其中比例系数称为媒质的电导率，单位S/m(西门子/米）。,焦耳定律的微分形式,单位时间单位体积,即：均匀导电媒质（=常数）中电位满足拉普拉斯方程,三、恒定电场的边界条件,分界面上电场强度的切向分量是连续的 电流密度的法向分量是连续的。,很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普

15、拉斯方程的解答（边值问题）。,例2.13 如图，一个有两层介质1、2的平行板电容器，两层介质的电导率分别为1、2，极板的面积为S，求该电容器的漏电导G。在外加电压U时，求两极板及介质分界面上的自由电荷密度。,解:设电流为I,（媒质21：D1n-D2n= S）,分界面：,如果 ，则分界面上总有自由电荷存在。,四、恒定电场与静电场的比拟 导电媒质中的恒定电场（电源外） 静电场（=0的区域）,静电比拟：两种场对应的物理量所满足的方程形式上是一样的，若两个场边界条件也相同，那么通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量的关系进行置换，便可得到另一个场的解。,2.4 恒定磁场,一、真空中恒定磁场的基本方程

16、 1、恒定磁场的散度和磁通连续性原理,由毕奥-萨伐尔定律 磁通连续性原理的微分形式,即：磁感应强度B的散度恒为零，磁场是一个无通量源的矢量场。,利用散度定理 磁通连续性原理的积分形式,即：穿过任意闭合面的磁感应强度的通量（称为磁通）等于零，磁感应线（磁力线）是无头无尾的闭合线。 磁通连续性原理表明自然界中无孤立磁荷存在。,2、恒定磁场的旋度和安培定理,由毕奥-萨伐尔定律 安培定律的微分形式,即：恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的涡旋源。,应用斯托克斯定理 安培定律的积分形式,即：恒定磁场的磁感应强度在任意闭合曲线上的环量等于闭合曲线交链的恒定电流的代数和与0的乘积。,例2.14：已知半

17、径为a的无限长直导体通过电流I，计算导体内外的B。 解：,二、矢量磁位 1、矢量磁位的引入,A 恒定磁场的矢量磁位，单位 Tm（特斯拉 米）或Wb/m（韦伯/米）。它是一个无物理意义的辅助矢量。,若要唯一确定A，还需知道A的散度方程。在恒定磁场条件下一般总是规定A的散度为零，即： 库仑规范,2、矢量磁位的方程,泊松方程,对无源区域（J = 0）有 拉普拉斯方程,令无限远处A的量值为零（参考矢量位），则各式的特解分别为,在直角坐标系下， 可以展开为,三个方程的形式和静电场电位的泊松方程完全一样。,3、矢量磁位的计算公式,矢量合成后，得,4、矢量磁位的优点：,（1）A 的积分公式比B 的容易：一个

18、分量的场源变量只产生与它方向相同的矢量位分量，却产生三个分量的磁场B ； （2）A 的微分方程比B 的容易： A 的微分方程可以转化为标量方程； （3）可以由矢量磁位A计算磁通量 即： A沿任一闭合路径C的环量，等于穿过以此路径为周界的任一曲面S的磁通。,面电流与线电流的矢量位为,可知：每个电流元产生的矢量磁位dA 与此电流元Idl，JsdS，Jd具有相同的方向，这是引入矢量磁位的优点之一。,三、磁介质中的安培定律及边界条件 1、磁介质的磁化 研究物质的磁效应时，将物质称为磁介质。,分子电流（又称束缚电流）,分子磁矩 pm= I S（Am2）, S的方向与I 流动的方向成右手螺旋关系。,无外磁

19、场作用时，磁介质对外不显磁性，,在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， 对外显示磁性。,媒质的磁化,外加磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，对外呈现磁性，称为物质（或媒质）的磁化。,磁介质中的磁感应强度B可以看作是在真空中传导电流产生磁场的和束缚电流产生的磁场的叠加。,2、磁化强度M：单位体积的总磁矩，描述磁介质的磁化程度，即,定义：束缚体电流密度 束缚面电流密度,3、磁介质中的安培定律,在无界的磁介质内的磁场相当于传导电流和束缚电流在无界的真空中产生的磁场的叠加。,由真空中的安培定律,磁场强度（A/m）,安培定律微分形式,表明磁介质内某点的磁场强度H 的旋度等于该点的传导电流密度。,表明磁场强

20、度沿磁介质内任意闭合路径的环量，等于与该闭合路径交链的传导电流。,4、磁介质本构关系,式中 相对磁导率，无量纲； 磁导率，单位H/m。,各向同性的线性磁介质本构关系：B = H,顺磁体：m0，二次磁场与外加磁场方向相同，介质中合成磁场增强。 抗磁体：m0，二次磁场与外加磁场方向相反，介质中合成磁场减弱。 顺磁体和抗磁体的磁化现象均不显著，工程中近似看作真空(r=1)。 铁磁性及亚铁磁性介质：在外加磁场作用下，磁化现象非常显著。,在线性、均匀、各向同性磁介质中M=mH，式中m是媒质的磁化率，无量纲纯数。,例：求磁场分布。 解：据安培定律,B的边界条件,表明：分界面上H的切线方向分量是不连续的。当

21、Js=0时，H 的切向分量是连续的（ B的切向分量不连续）。,H的边界条件,5、边界条件,表明：分界面上B的法线方向分量是连续的。,如果分界面上不存在自由面电流，则,例2.16 如图所示，环行铁芯螺线管的半径a远小于环半径R，环上均匀密绕N 匝线圈，通过电流为I，铁芯磁导率为，计算环中的B、磁通、磁链和自感L。如果在环上开一个小的切口，长度为l，匝数、电流如前，假设铁芯的也不变，再计算环中和空气隙的B和H。,解：aR，铁芯截面的场看作均匀场，由安培定律有,当在环上开一个小的切口时，据边界条件B1n=B2n，有,因为 0，所以 Hi Hg，与没有切口相比，B值将下降许多。,四、恒定磁场的能量 电

22、流回路在恒定磁场中要受到磁场力的作用而发生运动，表明恒定磁场储存着能量。磁场能量是建立电流的过程中由电源供给的，分布于磁场所在的整个空间中。 当电流从零开始增加时，据法拉第电磁感应定律，回路中感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。,磁场能量密度 J/m3,对于各向同性的线性媒质,磁场能量 J（焦耳）,例 2.17 求同轴线单位长度储存的磁场能量。,解：由安培定律，得,2.5 时变电磁场,一、法拉第电磁感应定律,法拉第通过大量实验发现:当穿过导体回路的磁通量（不论由于什么原因）发生变化时，回路中会出现电流（称为感生电流），产生感应电动势，这种现象称为电磁感应现象。

23、,时变电磁场：随时间变化的电磁场。,即：变化的磁场产生电场。回路中的感应电动势与构成回路的导体性质无关（甚至可以是假想回路）。只要回路所围面积的磁通发生变化，就会产生感应电动势，就存在感应电场，且穿过回路所围面积的磁通变化是产生感应电动势的唯一条件。,导体内存在感生电流表明导体内必然存在感应电场E，即有：,静态场的电场是保守场，E沿闭合路径的线积分（环流）为零。空间的总电场等于静态电场与感应电场的叠加，有,法拉第电磁感应定律的积分形式,二、位移电流,作闭合曲线 C 与导线交链，根据安培定律,麦克斯韦深入研究这一矛盾的结果，断言电容器的两个极板间必有另一种形式的电流存在，提出了位移电流的假说。,

24、同一个磁场强度矢量H在同一个闭合路径C上的环量得到相矛盾的结果，为什么？,时变条件下的电流连续性方程,安培定律的微分形式 即：变化的电场产生磁场,安培定律的积分形式,位移电流密度（ A/m2 ）,三、Maxwell方程和边界条件 英国科学家麦克斯韦在前人得到的实验结果的基础上，提出科学的假设和符合逻辑的分析，将静态场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组（麦克斯韦方程组）高度概括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。,安培定律,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定律,积分形式 微分形式,1、Maxwell方程,安培环路定律麦克斯韦第一方程,磁场强度沿任意闭合曲线的环量等于穿过

25、该闭合曲线为洲界的任意曲面的传导电流与位移电流之和；传导电流和时变电场都能产生磁场。, 法拉第电磁感应定律麦克斯韦第二方程 ,电场强度沿任意闭合曲线的环量等于穿过以该闭合曲线为周界的任一曲面的磁通量变化率的负值；时变磁场产生电场。, 磁通连续性原理麦克斯韦第三方程，穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于零；磁通永远是连续的，磁场是无源场,磁力线是无头无尾的闭合曲线；, 高斯定律麦克斯韦第四方程，穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和；电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。,四个方程所反映的物理意义, 麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全

26、部关系。麦克斯韦对宏观电磁场理论的最大贡献是预言了电磁波的存在。,对于线性和各向同性媒质，有,2、媒质的本构关系,麦克斯韦方程的限定形式,例2.21：无限大无源区域中，已知 其中 和 是常数，求H。 解：,3、电磁场的边界条件 （1）H 的边界条件,或,表明：在有传导面电流分布的分界面上，H的切向分量是不连续的，其不连续量就等于分界面上的面电流密度。若分界面上没有面电流，则H的切向分量是连续的。,(2)E 的边界条件,或,表明：分界面上E 的切向分量总是连续的。,(3)B的边界条件,表明：分界面上B的法向分量总是连续的。,或,(4)D的边界条件,或,4、两种特殊情况下的边界条件,（1）理想导体

27、表面的边界条件,理想导体中 J=E 为有限值，当 ，E=0,理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0,在理想介质（媒质1）与理想导体（媒质2）的分界面上有,在理想导体表面有,即：理想导体表面的电场垂直于表面；磁场平行于表面,此时1=0， 2=0 ；分界面上S=0，JS=0，因此有边界条件,（2）两理想介质分界面上的边界条件,四、坡印亭定理,在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为,由于电磁场的变化，内能量随时间的变化率为,对于线性、各向同性的均匀媒质：,应用高斯散度定理，得,又据麦克斯韦第一、二方程有：,即：,表示单位时间内通过与电磁能量传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密

28、度矢量或电磁能流密度矢量 。S的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。,坡印廷（Poynting）定理,定义 S=EH (W/m2) 坡印廷矢量,穿入闭合面S的电磁功率,体积内电磁能量的增加率,体积内变为焦尔热的功率,显然，S、E、H三者相互垂直，且成右旋关系；S(r,t)=E(r,t)H(r,t),即S(r,t)、E(r,t)、 H(r,t)都是瞬时值。,例: 用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆本身导体的电阻可以忽略，内外半径分别为a和b。,解：电缆本身导体的电阻可以忽略,内外导体表面无电场的切向分量，只有电场的径向分量。,电场强度, 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。, 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导体只起导向作用。,上式表明：,单位时间内通过同轴电缆内、外导体间的横截面A的总能量为,磁场强度,坡印廷矢量,同轴电缆中的电磁能流,在无源（J =0， =0）、无耗（ =0）的均匀区域，限定形式的麦克斯韦方程式 变为,对式（2）两边取旋度：,