模糊数学第四章

1、1,第四章 F映射与综合评判,4.1 F映射,4.2 F变换,4.3 F综合评判,4.3.1 一级综合评判模型,4.3.2 多级综合评判模型,2,4.1 F映射 定义 :设 A、B 是两个集合，若有一规则 f ，使每一个 xA 唯一确定一个 yB 与之对应，则称 f 是从 A 到 B 的一个映射，记为 f ：AB， A 称为映射 f 的定义域，B 称为 f 的值域；y 称为 x 在 f 作用下的象，记作 yf (x)，并用符号 f : x |y 表示，x 称为 y 的一个原象。,3,定义 称映射,是从到的映射。或表示为,可见，映射是这样的一种对应关系：上的 任一元素与上的唯一确定集对应。,4,

2、例 设,令,5,例 设,按定义可知是从到的映射。,6,定义2：设 ，对 ，对应 的 一个 F 集,记 , 它具有隶属函数,称 为R在u处的截影.,同理,可以定义 R 在 v 处的截影.,7,例3: 设 , U,V为实数域,且,求 R在u=1与v=2的截影.,解: 据定义,R在u处的截影为,因此,同理,8,定理1: 任给 ,都唯一确定了一个从U到V的F映射,记作,对任意,有,反之,对任给从U到V的F映射,都唯一确定了一个F关系,记作,使对任意的 ,都有,9,例4: 设 ,且,试确定关系 ,并求 ,与,10,4.2 模糊变换,11,例1 设 表示“男少年”，其身高论域,体重论域,在U上的F集,某地

3、区身高与体重的关系,在V上的F集,12,定义 称映射,是从到的变换。或表示为,可见，映射T是这样的一种对应关系：F()上 的任一F集A与F(V)上的唯一确定集对应。,13,若映射T 将U 的一个模糊子集A映射到 V 的一个模糊子集B,则称映射T 为从U到V 的 模糊变换. 若模糊变换T 满足 (1) T(AB) = T(A)T(B), (2) T(A) = T(A), 则称T 为模糊线性变换.,14,命题2 设,(1) 给定 U 到V的一个模糊关系R可确定U 到V 的一个模糊模糊线性变换 (2) 给定U 到V 的一个模糊线性变换T 可确定U 到V的一个模糊关系,15,例2 设X =x1, x2

4、, x3, x4, x5,Y =y1, y2 , y3 , y4,(1) A = x1, x2, 求TR (A)； (2) B = (0.5, 0.6, 0.9, 1, 0), 求TR (B)；,16,TR(A)= A R,TR(A)= (1, 1 , 0, 0, 0) R = (1, 0.3, 0, 1),TR(B)= (0.5, 0.6, 0.9, 1, 0) R = (0.6, 1, 0.4, 0.5),17,例3 设X =x1, x2, x3,Y = y1, y2,映射T 为从X 到Y 的模糊线性变换.已知,(1) 求由T 诱导出X 到Y 的模糊关系 RT ； (2) 求由模糊关系 R

5、T 诱导出X 到Y 的模糊映射 f .,18,0.5,0.6 0.5,0.2,0.3,0.7,19,例4：设,试求：,其中 满足A(x)=R(x,y),解得,解：,20,取,21,4.3 模糊综合评判,设 个变量的函数,则称 为评判函数。,1、定义,22,引理： 设递增函数,则,23,定理1：设 为评判函数，则,24,定理2： 如果,则评判函数,25,2、模糊综合评判模型,设U =u1, u2, , un为n种因素(或指标),V =v1, v2, , vm为m种评判(或等级). 由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A = (a1, a2, , an )来描述,它是因素集U 的一个模

6、糊子集.对于每一个因素ui ,单独作出的一个评判 f(ui),可看作是U到V 的一个模糊映射 f.,26,由 f 可诱导出U 到V 的一个模糊关系 ,由 可诱导出U 到V 的一个模糊线性变换 = A R = B, 它是评判集V 的一个模糊子集,即为综合评判. (U, V, R )构成模糊综合评判决策模型, U, V, R是此模型的三个要素.,27,3、模糊综合评判决策的方法与步骤, 建立因素集U =u1, u2, , un与决断集V =v1, v2, , vm. 建立模糊综合评判矩阵. 对于每一个因素ui ,先建立单因素评判： (ri1, ri2, , rim) 即rij(0rij1)表示vj

7、对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵R =(rij)nm.,28, 综合评判. 根据各因素权重 综合评判: 是V上的一个模糊子集,根据运算的不同定义,可得到不同的模型.,模型：M(,)主因素决定型,29,由于综合评判的结果 的值仅由 与 中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是 考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运 算有时出现决策结果不易分辨的情况.,30,模型：M ( , )主因素突出型 M ( , )与模型M (,) 较接近, 区别在于用 代替了M (,) 中的 . 在模型M ( , )中,对 乘以小于1的权重 表明 是在考虑多因素时 的修正值,与主要因素有关,忽略

8、了次要因素.,31,模型： M(, )主因素突出型,在实际应用中,如果主因素在综合评判中 起主导作用,建议采纳, 当模型失效时可采用,.,32,模型：M( , )加权平均模型 模型M( , )对所有因素依 权重大小均衡兼顾,适用于考虑 各因素起作用的情况.,33,例1. 服装评判,因素集U =u1(花色), u2(式样), u3(耐穿程度), u4(价格)； 评判集V =v1(很欢迎), v2(较欢迎), v3(不太欢迎), v4(不欢迎). 对各因素所作的评判如下： u1 ：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1) u2 ：(0.7, 0.2, 0.1, 0 ) u3 ：( 0, 0.4,

9、0.5, 0.1) u4 ：(0.2, 0.3, 0.5, 0 ),34,对于给定各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)： B = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1) M( ,)： B = (0.14, 0.12, 0.2, 0.03) M(, )：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2) M( , )： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04),35,对于给定各因素权重A = (0.4, 0.35, 0.15, 0.1),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)： B = (0.35, 0.4, 0.

10、2, 0.1) M( ,)： B = (0.245, 0.2, 0.08, 0.04) M(, )：B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2) M( , )： B = (0.345, 0.36, 0.24, 0.055),36,例2. “晋升”的数学模型.,以高校老师晋升教授为例：因素集U =政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平,评判集V=好,较好,一般,较差,差.,因素 好 较好 一般 较差 差 政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 教学水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1,37,给定以教学为主的权重A = (0.2,

11、 0.5, 0.1, 0.2)，分别用M(,)、 M( , )模型所作的评判如下： M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04),38,4.4* 权重的确定方法,在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果. 凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际

12、情况,评判结果可能“失真”. 加权统计方法,39,频数统计方法,(1) 对每一个因素uj ,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj ,即 Mj =maxaij|1 i k, j =1, 2 , n; mj =minaij|1 i k, j =1, 2 , n. (2) 选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj - mj)/p. (3) 计算落在每组内权重的频数与频率 (4) 取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重. (5) 将所得的结果归一化.,40,模糊关系方程法,在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策B = (b1

13、, b2, , bm ),单因素评判矩阵 R =(rij)nm ,试问各因素的权重分配A是什么？ 这就是要求解模糊关系方程X R = B.,定理 模糊关系方程X R = B有解的充要条件是 R = B,其中,约定 =1.且 为X R=B的最大解.,证明：充分性是显然的.,41,必要性 设X R = B有解X = (x1, x2, , xn ),即,(x1, x2, , xn ) R = (b1, b2, , bm ). 则 j, (xk rkj) = bj j, k, (xk rkj) bj ., k, xk , (x1, x2, , xn ) , B R .,又 j, k, 有,当rkjbj时, =bj|rkjbj bj, rkj bjrkj= bj ;,当rkjbj时,由 =1, rkj= rkjbj ;,即 RB.,42,例 下列模糊关系方程是否有解？,解：由公式,(1) =(0.2,1,0.4),是其最大解.,(2) =(1,0.7),