圆锥曲线与方程 椭圆 椭圆的简单几何性质

1、,第二章 圆锥曲线与方程,2.1.2 椭圆的简单几何性质,标准方程为: 的椭圆的性质,让我们一起研究：,F2,F1,O,B2,B1,A1,A2,x,y,1、范围,横坐标的范围：,纵坐标的范围：,-a x a,-b y b,所以,由式子 知,从而：-a x a,a,F2,F1,O,B2,B1,A1,A2,x,y,c,b,1、范围,容易算得：B2F2=a,B2F2O叫椭圆的特征三角形。,2、对称性,F2,F1,O,x,y,椭圆关于y轴对称。,F2,F1,O,x,y,椭圆关于x轴对称。,A2,A1,F2,F1,O,x,y,椭圆关于原点对称。,F2,F1,O,x,y,2、对称性,椭圆关于y轴、x轴、原

2、点对称。,为什么？,3、顶点,O,B2,B1,A1,A2,x,y,可得x= a,在 中令y=0，,从而：A1(-a,0),A2(a,0),同理：B1(0, -b),B2(0, b),3、顶点,O,B2,B1,A1,A2,x,y,线段A1A2叫椭圆的长轴;,线段B1B2叫椭圆的短轴。,长为2a,长为2b,4、离心率,上面椭圆的形状有什么变化？,O,x,y,怎样刻画它们的扁平程度？,4、离心率,O,x,y,显然，a不变，b越小，椭圆越扁。,也即，a不变，c越大，椭圆越扁。,把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用e表示，即,(a,0) (0,b),(0,a) (b,0),椭圆的几何性质,-a

3、 x a,-b y b,-a y a,-b x b,对称轴：x轴、y轴,对称中心：原点,例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形.,解：把方程化为标准方程:,所以: a = 5 ,b = 4,c =,顶点坐标为 (-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4),所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8 ；,离心率为0.6 ；,焦点坐标为(-3,0),(3,0),例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2);,解：易知a=3,b=2,又因为长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为,(2)长轴的长等于20,离心率

4、等于0.6,(2)由已知, 2a=20,e=0.6,或,因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可能 在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为,a=10,c=6,b=8,练习1,求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(2,0) Q(1,1); (2)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为0.8.,或,例3：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l: 的距离的比等于常数 ， 求M点的轨迹。,解：设d是点M到直线l: 的距离，,根据题意，点M的轨迹是集合,由此得,将上式两边平方，并化简，得,即,这是一个椭圆。,例4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知ACF1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在椭圆的方程。,解：如图建立直角坐标系，,设所求椭圆方程为,在RtAF1F2中，,由椭圆的性质知，,所以,所求的椭圆方程为,(a,0) (0,b)