简明大学物理第二版 复件 4-1 简谐振动的基本概念和规律

1、., 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动., 物体围绕一固定位置往复运动，称为机械振动 。 其运动形式有直线、平面和空间振动.,机械振动可分为 周期和非周期振动, 简谐运动 最简单、最基本的振动.,谐振子 作简谐运动的物体.,.,一、简谐振动的动力学方程及其解运动方程,为说明简谐振动的基本特征，先看两个具体的例子。,例4-1 水平弹簧振子的运动。,把连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统称为弹簧振子。,设x轴的原点与弹簧的平衡位置重合，振子在任意位置时 所受合外力为,.,令,动力学方程,由牛顿第二定律，得,.,例4-2 单摆小角度摆动,一根质量可以忽略并且不会伸缩

2、的细线长l，上端固定，下端系一质量为m可看作质点的摆球，就构成一个单摆。可以看作定轴转动的刚体。,小角度摆动，重力矩可以写成,负号表示力矩方向与角位移方向相反。,根据转动定理有,.,令,动力学方程,.,简谐振动的定义：,上述二阶常系数线性齐次微分方程的通解为：,如果质点的动力学方程可以归结为 的形式，且其中的 决定于振动系统本身的性质，则该质点的运动称为简谐振动。,.,简谐振动物体的速度：,简谐振动物体的加速度：,简谐振动物体的运动方程：,.,二、描述简谐振动的特征量,1 振幅,作简谐振动的物体离开 平衡位置最大位移的绝对值 A，称为振幅。,在SI中，振幅的单位是米，符号为m。,.,2 相位与

3、初相位,相位：,相位,初相位,初相位：,当t=0时， 称为初相位,1） 存在一一对应的关系;,.,3）初相位 描述质点初始时刻的运动状态.,4）设两个振动状态所对应的相位分别为,若 ，称振动状态1超前于振动状态2；,若 ，称振动状态1滞后于振动状态2；,若 ，称振动状态1与振动状态2同步或同相。,.,常数 和 的确定,对给定振动系统，振幅和初相由初始条件决定.,.,3 周期和频率,（1）周期 物体作一次完全振动所需的时间称为周期，用T 表示。,在SI中，周期的单位是秒，符号为s。,周期仅与振动系统本身的物理性质有关。,弹簧振子,单摆,.,单位时间内物体所作完全振动的次数，称为频率，用 表示。,

4、在SI中，频率的单位是赫兹，符号为Hz。,(2)频率,(3) 圆频率或角频率,与频率 只相差常数 倍,称圆频率或角频率.,周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关，称固有周期、固有频率和固有圆频率。,.,例4-3 原长为0.50m的弹簧上端固定，下端挂一质量 为0.1kg的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为0.60m，若将砝码向上推，使弹簧回到原长，然后放手，则砝码做上下振动。 （1）证明砝码的运动为简谐振动； （2）求此简谐振动的振幅、角频率和频率； （3）若从放手时开始计时，求此简谐振动的振动方程。,解,（1）以振动物体的平衡位置为坐标原点，建立 如图所示的Ox坐标系。设t时刻砝码位于x处，

5、由 牛顿第二定律，得,.,式中x0为砝码处于平衡时弹簧的伸长量，有,式代入式，化简，得,因此，砝码的运动为简谐振动。,.,(2)砝码振动的角频率和频率分别为,设砝码的谐振动方程,由初始条件，t=0时，x=-x0=-0.1m，v=0，得,则其速度公式为,(3)简谐振动的振动方程为,.,三、简谐振动的几何描述旋转矢量法,1.旋转矢量,1）旋转矢量的模等于简谐振动的振幅A,2）旋转矢量绕O点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率 。,3）在t = 0时，矢量A和x轴的夹角为 ，矢量A的矢端在x轴上的投影点的坐标为,以O为原点的旋转矢量 的端点在Ox轴上的投影点的运动为简谐运动.,.

6、,矢量A的矢端在x轴上的投影点的坐标为,在任意时刻t ，旋转矢量 与x轴的夹角为,以O为原点的旋转矢量 的端点在Ox轴上的投影点的运动为简谐运动.,.,2.用旋转矢量表示简谐运动的速度和加速度,在x 轴上的投影,.,3. 简谐振动的旋转矢量表示法,如果画一个图表示出作匀速圆周运动的质点的初始径矢的位置，并标以，则相应的简谐运动的三个特征量都表示出来了，因此可以用这样一个图表示一个确定的简谐运动.简谐运动的这种表示法叫做旋转矢量法.,.,例4-4 物体沿x轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为T=2.0 s， t=0时物体的位移为x0=-5cm.且向x轴负方向运动.试求 (1) t=0.5s时物体的位移； (2) 何时物体第一次运动到x=5cm处? (3) 再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处?,解,由已知条件，该谐振动在t=0时刻的旋转矢量位置如图所示.由图及初始条件可知,由于,所以,该物体的振动方程为,.,(1)将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为,(2) 当物体第一次运动到x=5cm处时，旋转矢量从初始位置转过的角度为，如图所示，所以有,即,(3)当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过,.,以弹簧振子为例,（振幅的动力学意义）,四、简谐振动的能量,动能,势能,由