板壳结构有限元

1、第6章 板壳结构分析,6.1 概 述 1、板壳结构：平板、壳体。 平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向 。对于薄板板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。,壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当然：对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。,2、薄板理论,基本假设 （1）直法线假设：薄板中面法线变形后仍保持为法线。由此，板中面内剪应变为零。 （2）忽略板中面的法线应力分量，且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，

2、即中面不 变形。 利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题，且全部应力和应变可以用板中面挠度w表示。 基本方程 （1）位移：由假设（1）、（3），有,(2)应变 由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。根据几何方程，应变可表示为,形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向的扭率。,chi,器,应力,内力：板单位宽度上弯矩Mx 、 My和 Mxy 分别为x 、 y 、 xy应力分量在板截面上的合力矩 ：,弹性矩阵,薄板弯曲问题中的弹性矩阵 Df,内力矩表示薄板应力的公式,6.2 薄板矩形单元shell63,结点位移,单元结点位移列阵,1、结点位移与结点力,单元结点力,2、位移模式,

3、矩形薄板单元有4个结点，12个结点位移分量，1个挠度独立变量，根据选取位移函数的原则，取：,1-3项刚体位移,4-5项常应变,非协调元,单元间法线导数可能不连续,将结点坐标和结点位移代入上式），可解出a1a12，再代入该式并整理得位移函数,式中形函数,3、单元应变,3、单元应力,4、内力矩,B去掉 z 得形变矩阵B,S分块矩阵形式,5、单元刚度矩阵,基本公式,子矩阵为,式中,其中D为薄板刚度,6、等效结点力,板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为,例6-1,受中心集中力的四边支承板的计算结果 (边长为1，厚度为0.01，弹模为1，波松比为0.3),6.3 薄板三角形单元,1、位移模式 三

4、角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角xi、yi，独立变量为wi。三角形单元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式，则有10个参数:,若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。经过许多研究，问题最后在面积坐标下得以解决。,对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以下项：,Li Lj Lm及其一阶导数在三个结点为零， 对于确定待定参数无用；考虑到用结点位移表示待定参数时计算方便，不考虑二次和三次的前三项。因此，只能在剩下的6个三次项中选择三个或利用某种线性组合。考虑对称性，假设位移模式为：,采用“”组合不行,

5、将三个结点的位移和面积坐标代入上式，可得：a1=wi ， a2=wj， a3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得,将结点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于a4a9的方程，求解后可得a4a9：,最后，待定常数a1a9代入位移模式，整理后得：,将w,Lii和w,Lji变换成xi、 yi，从而得到相应于xi、 yi的形函数Nxi、 Nyi,利用：,利用求得位移函数，可以得到应变列阵和相应的应变矩阵B，进一步可得到形变列阵和相应的形变矩阵B。,四边将简支板的中心挠度系数,有限元大于解析解，原因是单元为非完全协调单元。,6.4 考虑横向剪切影响的平板弯曲单元,假设：中面法线

6、变形后仍为直线，但不再是其法线，绕x、y轴转动了x、y.。（汉盖理论假设）,根据该假定，则板内任意一点的位移分量具有如下形式（三个自由度）：,增加自由：扭率或曲率 增加边中结点或限制。,代入几何方程，应变矩阵：,应力矩阵,弹性矩阵,平板的变形由中面挠度w和法线绕x、y轴的转角x、y.确定。每个结点取它们作为自由度，采用8结点平板单元。可以参照8结点等参单元。 中面上任意点的挠度和转角可以表示为：,由此可得位移模式,应变分量,应力分量,内力计算,单元刚度矩阵,等效结点荷载： 设单元表面作用有均布荷载q(x,y)，等效结点荷载为,例：承受均布荷载q的方板，四边简支。4X4网格，挠度=？,四边简支板,6.5 平面壳体单元,平面壳体单元 拉压+弯曲=平面应力+弯曲应力。因此，壳体平面单元分析时，只需将平面应力问题单元与板弯曲单元叠加即可。 用壳体单元分析壳体结构时，需要坐标变换。,单元分析,结点位移：5个位移，即ui,vi,wi,xi, yi,前两个对应为平面应力问题，后三个对应平板弯曲问题。对应结点力为,在局部坐标中，节点位移不含z，但为了将局部坐标下的刚度矩阵转换到整体整体坐标系，须将z加入节点位移中。即：,平板壳体单元刚度矩阵的子块矩阵 （一个节点）,坐标变换,矩形单元，柱状结构分析，可取X和x一致。 1) x轴方向余弦：,X,Z,Y,坐标变换,2) y