直接证明与间接证明(人教A选修1-2)

1、.,2.2直接证明与间接证明,2.2.1 综合法和分析法,.,复习,合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.,.,例：已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c2 2bc,a0 所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b2 2bc,b0 所以b(c2+a2) 2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,.,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表

2、示为:,特点:“由因导果”,综合法又叫由因导果法或顺推证法.,.,例1:如图,ABC在平面外, 求证:P,Q,R三点共线.,.,证明： 因为AB=P,BC=Q，A=, 所以P,Q,R，PAB，BC,RAC 则得P,Q,R平面ABC, 因此P,Q,R是平面ABC与平面的公共点. 因为两平面相交有且只有一条交线，所以P,Q,R三点在平面ABC与平面的交线上， 即P,Q,R三点共线。,.,.,例3：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，- 因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，

3、- 所以B=60o。- 由a,b,c成等比数列，有b2=ac, - 则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再有得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0 因此a=c。从而有A=C- 则由 得A=B=C=60o。 所以三角形ABC是等边三角形。,.,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.,则综合法用框图表示为:,小结,综合法的定义:,.,回顾基本不等式： (a0,b0)的证明.,.,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使

4、每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法,特点：执果索因.,用框图表示分析法的思考过程、特点.,分析法又叫执果索因法或叫逆推证法,.,例4:求证,证明：因为 都是正数，,所以为了证明,只需证明,展开得,即,只需证明2125，因为2125成立，,所以不等式 成立。,.,例5:如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AFSC,证明:要证AFSC,只需证:SC平面AEF,只需证:AESC,只需证:AE平面SBC,只需证:AEBC,只需证:BC平面S

5、AB,只需证:BCSA,只需证:SA平面ABC,因为:SA平面ABC成立,所以. AFSC成立,.,上述过程可用框图表示:,看课本第41页，例题6。,.,一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。,特点:“由因导果”,小结,综合法又叫由因导果法或顺推证法.,1.综合法的定义:,一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法,2.分析法的定义:,分析法又叫执果索因

6、法或叫逆推证法,特点:“执果索因”,.,2.2直接证明与间接证明,2.2.2 反 证 法,.,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,.,思考？,将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?,分析:假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的.,.,把这种不是直接从

7、原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,注：反证法是最常见的间接证法，,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。,理论,.,反证法的证明过程：,否定结论推出矛盾肯定结论， 即分三个步骤：反设归谬存真,反设假设命题的结论不成立；,存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾；,用反证法证明命题的过程用框图表示为：,肯定条件 否定结论,导 致 逻辑矛盾,反设 不成立,结论 成立,反证法的思维方法：正难则反,.,例7 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,证：由于a 0，因此方程至少有一个根x=b/a，,注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法,如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 x2 )是方程的两个根.,.,例8: 已知直线a,b和平面 ,如果 且ab,求证:a ,a,b,P,看课本第43页，例题8。,.,归纳总结：,三个步骤：反设归谬存真,归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。,.,（1）直接证明有困难,正难则反!,归纳总结：,哪些命题适宜用