正四面体与正方体例话

1、1,序 曲 十年高考多面体 出题偏爱正方体 拿着正方变魔方 演出多少好题和妙题,正四面体与正方体例话,2,一、正方体高考十年,十年来，立体几何的考题一般呈“一大一小”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一. 立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时,势在必夺的“成败线”或“生死线”. 十年的立几高考，考的都是多面体. 其中： （1）直接考正方体的题目占了三分之一； （2）间接考正方体的题目也占了三分之一. 因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.,正四面体与正方体例话,3,考题 1 （正方体的侧面展开图）,考查空间想象能力. 如果能从展开图

2、（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题、为假，而命题、为真，答案是C.,解 析,（2001年）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是 （A） （B） （C） （D）,4,（2002年） 在下列四个正方体中，能得出ABCD的是,考题2 （正方体中主要线段的关系）,射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A. 平移法：可迅速排除 (B)，(C)，(D)，故选（A）.,解 析,5,（2003年） 棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

3、,考题 3 （正方体与正八面体）,解 析,将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的 ，再乘 得 . 答案选C.,6,练习（ 07四川卷）,4如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ABD平面CB1D1 BAC1BD CAC1平面CB1D1 D异面直线AD与CB1所成的角为60,7,二、正四面体与正方体,从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位. 在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来. 我们认定了正方体是多面体的“根基”. 我们在思考： （1）正方体如何演变出正四面

4、体？ （2）正方体如何演变出正八面体？ （3）正方体如何演变出斜三棱锥？,正四面体与正方体例话,8,考 题 1 （正四面体化作正方体解） (2009年),一个四面体的所有棱长都是 , 四个顶点在同一球面上,那么此球表面积是（ ） 3 4 5 6,9,拙解 硬碰正四面体,10,联想 、 、 的关系,11,妙解 从正方体中变出正四面体,以 长为面对角线，可得边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，这个正方体的体对角线长为 ，则其外接球的半径为 ，则其外接球的表面积为S=4R2= =4( )23 以 为棱长的正四面体B-A1C1D与以1为棱长的正方体有共同的外接球，故其外接球的表面积也为S=3.

5、 答案为A.,12,寻根 正方体割出三棱锥,在正方体中割出一个内接正四面体后，还“余下”4个正三棱锥. 每个正三棱锥的体积均为1/6，故内接正四面体的体积为1/3 . 这5个四面体都与正方体“内接”而“共球”. 事实上，正方体的内接四面体（即三棱锥）共有 58个. 至此可以想通，正方体为何成为多面体的题根.,13,解正四面体,统计十年的高考立几题，除直接考“解正方体”的题目比重最大以外，接下来的就是“解正四面体”的题目了. 其实，正四面体并不能与正方体平起平坐，正四面体本质上是正方体的“演生体”，通俗地说：正四面体是正方体的儿子！如果把正方体弄清楚了，正四面体就随之清楚了. 在十年的高考“正四

6、面体”中，凡是就“儿子解儿子”的解法，都是拙法；凡是由“老子解儿子”的办法都是妙法！,正四面体与正方体例话,14,（2006年湘卷理9）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A. B. C. D.,2,2,妙解 （找老子解儿子）,答案为C,15,拙解 （就儿子解儿子）,如图所示：即求三角形PCD的面积. 因为CD=2，四面体A-BCD是正三棱锥，则PD=PC，三角形PCD是等腰三角形. 过P作CD的中线交CD于Q，则球心在PQ上. 连BQ，AQ，则AQ=BQ,因为O在PQ上，则PQ是线段AB的中垂线.即Q是AB的中点.,16,练习（山东卷 ）,如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥PDCE的外接球的体积为（ ） A. B. C. D.,17,以此正四面体来构造正方体， 则正方体的棱长为 ， 正方体外接球的直径的长为 , 外接球的半径为 。,解析：,18,（1）由正方体变出正四面体； （2）由正方体变出正八面体； （3）由正方体变出正棱柱、直棱柱； （4）由正方体变出正三棱锥