高等数学实验

1、理工数学实验,第5.3章 一元函数积分法,第3章一元函数积分法,验证性实验 实验一 不定积分 实验二 定积分 实验三 定积分的应用,第3章一元函数积分法验证性实验,实验一 不定积分 【实验目的】 1.掌握求函数的原函数的方法 2.熟悉基本积分公式和积分方法 【实验要求】 掌握Matlab中积分命令int,第3章一元函数积分法验证性实验,【实验内容】 求下列函数的一个原函数 (1) (2) 【实验过程】 1.（1） syms x; f=1/x4; int(f,x) 运行结果： ans = -1/3/x3 即函数 的一个原函数为 .,第3章一元函数积分法验证性实验,（2） syms x; f=ex

2、p(x)/(1+exp(x); int(f,x) 运行结果： ans = log(1+exp(x) 即函数 的一个原函数为 .,第3章一元函数积分法验证性实验,实验二 定积分 【实验目的】 1.掌握求函数定积分的方法 2.会求变上限函数的导数和带有变上限函数的极限 【实验要求】 熟悉Matlab中求定积分的命令,第3章一元函数积分法验证性实验,【实验内容】 1.求下列定积分 （1） ; 【实验过程】 1.（1） syms x; f=sqrt(1-x2); int(f,x,0,1) 运行结果： ans = 1/4*pi,第3章一元函数积分法验证性实验,2.求变上限函数的导数 （1） ; 2.（1

3、） syms t x; y=sin(t)/t; diff(int(y,t,0,x),x) 运行结果： ans = sin(x)/x 即,第3章一元函数积分法验证性实验,3.求下列极限 （1） ; 3.（1） syms x t; f=cos(t2); int(f,t,sin(x),0); f1=diff(int(f,t,sin(x),0),x) f2=f1/1 limit(f2) 运行结果： ans = -1,第3章一元函数积分法验证性实验,实验三 定积分的应用 【实验目的】 1.熟悉不定积分、定积分的求解过程 2.会求变上限函数的导数 3.掌握用定积分求平面图形面积、立体体积、曲线弧长以及 立

4、体侧面积等应用 【实验要求】 掌握Matlab中求定积分的命令,第3章一元函数积分法验证性实验,1.求由抛物线 与 所围图形的面积A； 【实验过程】 1.第一步：画出积分区域的图形： y=linspace(-1,1,60); x1=5*y.2;x2=1+y.2; plot(x1,y,x2,y) 运行结果： 图3-1 抛物线 与 所围图形,第3章一元函数积分法验证性实验,第二步：先观察曲线，再计算面积 syms y f=(1+y2)-5*y2; A=int(f,y,-0.5,0.5) 运行结果： A = 2/3 即所求平面图形的面积为2/3。,第3章一元函数积分法验证性实验,2.求 与 所围图形

5、绕轴旋转所成的旋转体的体积； 2.第一步：画出两曲线所围图形 x=linspace(-0.5,1.5,60); y1=x.2;y2=x.3; plot(x,y1,x,y2) 运行结果： 图3-2 函数 与 所围图形,第3章一元函数积分法验证性实验,第二步：观察图形，求旋转体体积 syms x; f=x4-x6; V=int(f,x,0,1) 运行结果： V = 2/35*pi 即所求旋转体的体积为 .,第3章一元函数积分法,设计性实验 实验一 树的高度问题 实验二 还款问题 实验三 生日蛋糕问题,第3章一元函数积分法设计性实验,实验一 树的高度问题 【实验目的】 1.加深对积分概念的理解 2.

6、使用积分理论解决实际问题 3.熟悉Matlab命令求不定积分，解数值方程 【实验要求】 掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验内容】 有一种快速生长的树，为了衡量它是否有种植的经济价值（如作为木柴），人们要求该树在5年内（t=6，在种植时已生长一年）至少生长6m，如果树的生长速度为1.2+5t-4(m/年)，其中t为年数.若种植时（t=1），树已有1m高，试问种植此树是否有经济价值。,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验方案】 树的高度，由题意可得 将t1代入，得 得 即种植树5年后，树高8.66m，比种植时的1m长高了7.66m，超 过至少生

7、长6m的要求，种植此树有经济价值。,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验过程】 syms t f=int(1.2+5*t(-4) f = 6/5*t-5/3/t3 clear syms c c=solve(1.2-5/3+c-1,c) c = 1.4666666666666666666666666666667,第3章一元函数积分法设计性实验,实验二 还款问题 【实验目的】 1.加深了解一元函数积分法 2.定积分在经济数学中的实际应用 3.熟悉Matlab命令求定积分，解一元数值方程 【实验要求】 掌握定积分概念，Matlab软件求定积分,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验内容】 现购买一

8、栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款数目相同。10年付清，年利率为6%，按连续复利计算，问每年应付款多少？,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验方案】 每年付款数目相同，共10年，这是均匀现金流，付款总值的现在值等于现价扣去首付。这类问题属于贴现问题，若第t年还款为万元，则第t年还款的贴现值为 ，n年的贴现值为 依题意：设每年付款A万元，则第t年付款的现在值，由连续贴现公式应为A ，因付款流总值为250万元，即有 得A=33.2447（万元），故每年应付款33.2447万元。,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验过程】 clear syms t A a=int(A*

9、exp(-0.06*t),0,10) a = -50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A b=solve(-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250,A) b = -15/(exp(-3/5)-1),第3章一元函数积分法设计性实验,实验三 生日蛋糕问题 【实验目的】 1.应用数值积分方法，加深对积分概念的理解 2.通过实例学习用数值积分知识解决面积、体积计算等实际应 用问题 3.学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令 【实验要求】 掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令,第3章一元函数积分法设计性实验,【实验内容】 一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多

10、的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果口腔医学的悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成下列悬链线函： r= 2-(exp(2h)+exp(-2h)/5， 0h1(单位m),第3章一元函数积分法设计性实验,由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。 【实验方案】 首先分析一个圆盘形的单层蛋糕，如图所示， 图3-4 单层蛋糕 绕水平中心轴旋转而成，若高为(m)，半径为r(m)，密度为(kg/

11、m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积(m2)为,第3章一元函数积分法设计性实验,如果蛋糕是双层圆盘的，如图所示： 图3-5 双层蛋糕 绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1，上层蛋糕半径为r2，此时蛋糕的质量和表面积为 以此类推，如果蛋糕是n层的， 图3-6 多层蛋糕,第3章一元函数积分法设计性实验,每层高为H/n，半径分别为r1，r2，rn，则蛋糕的质量和表面积为 事实上，蛋糕边缘圆盘半径 (0 syms h r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5; quadl(pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).2,0,1) ans = 5.4171 r

12、0=subs(r,h,0) r0 = 1.6000 quadl(2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5),0,1)+pi*r02 ans = 16.0512 求得该数学家的生日大蛋糕的质量和表面积为 W =5.4171 (kg)，S=16.0512(m2),第3章一元函数积分法设计性实验,思考与提高 1.某游乐场新建一个鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放入鱼塘，鱼塘的平均深度为6m，开始计划时每3m3有一条鱼，并在钓鱼季节结束时所剩的鱼是开始的25，如果一张钓鱼证可以钓鱼20条，试问：最多可以卖出多少钓鱼证？鱼塘的平面图如图： 图3-7 鱼塘平面示意图,第3章一元函数积分法设计性实验