高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版

1、高中数学函数知识点总结一、函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？(定义域、对应规则、值域)相同函数的判定方法：式相同定义域一致(必须同时具备两点)二、求函数的定义域有哪些常见类型？函数定义域的求解方法：l分式分母不为零l偶次平方根下的数(或式)大于等于零l指数式的底大于零，不等于1对数公式的底大于零，不等于1，真数大于零。l正切函数以上几个方面同时出现2个以上时，首先求出满足各个条件的自变量的范围，取它们的交叉，可以得到函数的定义域。三、如何求复合函数的定义域？义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _。复合函数定义域的求出方法：已知定义域是求出的定义域，是能够解x的范围，即定义域。如果

2、例子函数的定义域是，则的定义域是。四、函数值域的求法1 .直接观察法对于一些相对简单的函数，值域可以通过观察获得。/求函数y=的值域2 .分配方法梯度法是求二次函数值域的最基本的方法之一。例如，要求的函数y=-2x 5，x -1，2 的值域。3、判别式法二次函数和分数函数(分子和分母之一为二次)也通用，但这种问题类型有时不拘泥于判别式，也可以用其他方法简化4 .逆函数法当难以求出直接函数的值域时，可以通过求出其原函数的定义域来决定原函数的值域。求函数y=值域。5、函数有界性法如果很难直接求出函数的值域，可以利用所学习的函数的有界性来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的是三角函数的单调性

3、。求函数y=，的值域。6 .函数单调性法通常，与导数结合是最近高考的许多内容/求函数y=(210 )的值域七、兑换法在单纯的变换源中将函数变成单纯的函数的话，其问题型的特征是函数解析式中包含根式和三角式函数式模型。 换元法是数学方法中最主要的方法之一，在求函数的值域也一样发挥作用。/求出函数y=x的值域。八数形结合法其问题型函数解析式具有明显的几何学意义，如两点距离式的直线倾斜等类似的主题使用数形结合法，通常更简单，一目了然，令人赏心悦目。例如：已知点P(x.y )在圆x2 y2=1上求函数y=的值域。/求函数y=的值域9、不等式法利用基本不等式a b2，a b c3(a，b，c-)求出函数的

4、最大值，其问题型特征解析式在和式的情况下积一定，解析式在积的情况下和一定，但有时需要解体项、附件、平方等技术。示例：10 .倒数法在某些情况下，当函数的值域不能直接看到时，它会反过来发现另一种情况。/求出函数y=的值域综合运用各种方法也就是说，要具体求出某个函数的值域，首先要好好地观察该问题型的特征，然后选择适当的方法，一般以直接法、函数单调法和基本不等式法为优先，然后再考虑其他各种特殊的方法。5 .如何使用定义证明函数的单调性？(取值、判断不好、正负)判断函数的单调性有三种方法(1)定义法：根据定义，任意设定为x1、x2，并找到f(x1 )、f(x2 )间的大小关系能够变形与求出符号和1的关

5、系(2)参照图像：如果函数f(x )的图像关于点(a，b )对称，则函数f(x )在关于点(a，0 )对称的区间中具有相同的单调性(特例：奇函数)如果函数f(x )的图像关于直线x=a对称，则函数f(x )在关于点(a，0 )对称的区间中具有逆单调性。 (特例：偶函数)(3)利用单调函数的性质函数f(x )和f(x) c(c为常数)向同一方向变化函数f(x )和cf(x)(c为常数)在c0时，向相同方向变化，在c0时，向相反方向变化。如果函数f1(x )、f2(x )向同方向变化，则函数f1(x) f2(x )和它们向同方向变化(函数相加)若正值的函数f1(x )、f2(x )向同方向变化，则

6、函数f1(x)f2(x )和它们向同方向变化的负函数f1(2)向与f2(x )相同的方向变化，则函数f1(x)f2(x )及其相反方向变化(函数乘法)函数f(x )在与f(x )相同的编号区间内向相反方向变化。函数u=(x )，x，和函数y=F(u )，u-()，()或u-()，()在同一方向上变化时，复合函数y=F(x)在，中增加，函数u=(x )，且(同增减)f(g )型g(x )fg(x)f(x) g(x )f(x)*g(x )都是正数增长。增长。增长。增长。增长。增长。扣分扣分/扣分增长。扣分/扣分扣分增长。扣分扣分6 .如何利用导数来确定函数的单调性？值是()七、函数f(x )具有奇

7、偶校验的必要(不充分)条件是什么？(f(x )定义域关于原点对称)请注意以下结论(1)共同定义域内：两个奇函数的积是偶函数的两个偶函数的积是偶函数的偶函数和奇函数的积是奇函数。8 .确定函数奇偶校验的方法1、定义域法一个函数是奇(偶数)函数，其定义域一定关于原点对称，那是函数是奇(偶数)函数的必要条件，如果函数的定义域关于原点不对称，则函数是非奇非偶函数.2 .奇偶函数定义法假定给定函数的定义域关于原点对称，然后根据函数的奇偶的定义判断其奇偶3 .复合函数的奇偶校验f(g )型g(x )fg(x)f(x) g(x )型f(x)*g(x )。奇奇奇奇人偶奇人偶人偶不奇怪奇人偶奇人偶不奇怪奇人偶人

8、偶人偶人偶人偶9 .你很清楚周期函数的定义吗？函数，t是周期。 (请参见。)我们有问题的时候，说f(x) f(x t)=0，马上有反应。 此时，该函数周期是2t .导出的同时，也有f(x)=f(2a-x )或者f(a-x)=f(a x )这样的情况。 事实上，函数f(x )关于直线对称，这意味着对称轴可以把括号内的两个数字相加，除以2。 举例来说，f(x)=f(2a-x )或f(a-x)=f(a x )表示所有函数相对于直线x=a对称。如下所示。10 .你知道常用的图像变了吗？联想点(x，y )、(-x，y )联想点(x，y )、(x，-y )联想点(x，y )、(-x，-y )联想点(x，y

9、 )、(y，x )联想点(x，y )，(2a-x，y )联想点(x，y )、(2a-x，0 )请注意以下“折回”转换十一、熟练掌握常用函数的图像和性质吗？(k是倾斜，b是直线和y轴的交点)双曲线。应用：“三个二次”(二次函数、二次方程式、二次不等式)的关系二次方程式求出闭区间m，n中的最大值。求区间定(动)、对称轴动(定)的最大值问题。一次二次方程式根的分布问题。从图像记录属性！ (注意底部的限定！ (请参见。)利用其单调性求最大值和利用平均不等式求最大值的区别是什么(平均不等式必须注意等号成立的条件)15 .在基本计算中经常发生错误吗？16 .如何解抽象函数问题？(代入法、结构变换法)这个抽

10、象函数的主题，其实很简单，很快就能死记硬背了1、世代y=x作为2，x=0或1，求出f(0)或f(1)3、求奇偶校验，求y=x的单调性： x y=x1几个一般的抽象函数1 .正比函数型的抽象函数f(x)=kx(k0)-f(xy)=f(x)f(y )2 .函数类型的抽象函数f (x )=xa- f (xy )=f (x ) f (y )； f()=3 .指数函数型的抽象函数f (x )=ax- f (x y )=f (x ) f (y )； f(x-y)=4 .对数函数型的抽象函数f(x)=logax(a0且a1 )-f (xy )=f (x ) f (y ) f ()=f (x )-f (y )

11、5 .三角函数型的抽象函数f(x)=tgx-f(x y)=f (x )=cotx- f (x y )=例1已知函数f(x )对于任意的实数x，y具有f(x y)=f(x) f(y )，在x0时，f(x)0，f(-1)=-2求出区间-2，1 上的f(x )的值域.分析：首先，证明函数f(x )在r上是递增函数(f (x2 )=f (x2-x1 ) x1 =f (x2-x1 ) f (x1 ) )； 由区间求其值域。例2已知函数f(x )对于任意的实数x，y是f(x y) 2=f(x) f(y )，在x0的情况下，用f(x)2，f(3)=5求不等式f(a2-2a-2)3的解.分析：首先，证明函数f

12、(x )在r上是增加函数(例1 )求出1) f(1)=3，最后去除函数符号例3已知函数f(x )对于任意实数x，y为f(xy)=f(x)f(y )，且f(-1)=1，f(27)=9，在0x1时，f (x ) 0，1 .(1)判断1)f(x )的奇偶校验(2)判断并证明2)f(x )在0，上的单调性(3)求出a0且f(a 1)、a的可取范围.分析： (y=-1利用了(f(x1)=f(x2)=f()f(x2 )。(3)0a2例4函数f(x )的定义域为(-，)，满足条件：存在x1x2，f(x1)f(x2 )； 对于任意的x和y，f(x y)=f(x)f(y )成立(1)f(0)(2)对于任意值x，

13、判断f(x )值的符号.分析： (设x=y=0(设y=x0 )。例5函数f(x )是否存在是f(x)0、x-n； f(a b)=f(a)f(b )、a、b-n； f(2)=4.同时成立吗？ 如果存在，则求出f(x )的解析式，如果不存在，则说明理由分析：首先用推测f(x)=2x的数学归纳法来证明把例子f(x )作为被(0，)定义的单调增加函数，满足f(xy)=f(x) f(y )，f(3)=1求出(1) f(1)式(2)在f (x ) f (x-8 )2的情况下，求出x的能取的范围.分析： (利用3=13(2)利用函数的单调性和已知的关系式例7将函数y=f(x )的逆函数设为y=g(x )，如

14、果f(ab)=f(a) f(b )，则试着说明g(a b)=g(a)g(b )是否正确的理由.分析：假设f(a)=m，f(b)=n，则g(m)=a，g(n)=b还有，m n=f(a) f(b)=f(ab)=fg(m)g(n)例8已知函数f(x )的定义域关于原点对称，满足以下三个条件 x1、x2为定义域的数量时，f(x1-x2)=； f(a)=-1(a0，a是定义域的数量)在0x2a的情况下，f(x)0。提问：说明1) f(x )的奇偶校验怎么样的理由用(0，4a )说明f(x )的单调性怎么样的理由分析： (f -(x1-x2)=-f (x1-x2)判定f(x )为奇函数(3)在证明3)f(x )在(0，2a )中是增加函数之后，再证明(2a，4a )中也是增加函数.对于抽象函数的解答问题，不能用特殊的模型来解，而是能用特殊的模型来理解问题的意思。 有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数。 因此，必须对不同函数适当通融来寻求特殊模型，更好地解决抽象函数问题。例9已知函数f(x)(x0 )满足f(xy)=f(x) f(y )。(1)求证： f(1)=f(-1)=0；(2)求证明： f(x )是偶函数(3)若3)f(x )为(0，)且是增加函数，则解不等式f(x) f(x-)0 )。分析：函数模型为f(x)=l