2013年陕西省高考数学试卷（文科）

1、2013年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则RM为（）A（，1）B（1，+）C（，1D1，+）2（5分）已知向量 =（1，m），=（m，2），若，则实数m等于（）ABC或D03（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）Alogablogcb=logcaBlogablogca=logcbClogabc=logablogacDloga（b+c）=logab+logac4（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A

2、25B30C31D615（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20，25）上的为一等品，在区间15，20）和区间25，30）上的为二等品，在区间10，15）和30，35）上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A0.09B0.20C0.25D0.456（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z207（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为（）A6B2C0D

3、28（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定9（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为 （）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定10（5分）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）Ax=xBx+=xC2x=2xDx+x+=2x二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11（5分）双曲线的离心率为12（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为13（5分）观察下列等式：（1+1）=

4、21（2+1）（2+2）=2213（3+1）（3+2）（3+3）=23135照此规律，第n个等式可为14（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为（m）选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15（5分）（不等式选做题） 设a，bR，|ab|2，则关于实数x的不等式|xa|+|xb|2的解集是16（几何证明选做题） 如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知A=C，PD=2DA=2，则PE=17（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是三、解答题：解答应

5、写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18（12分）已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）=（） 求f（x）的最小正周期（） 求f（x）在0，上的最大值和最小值19（12分）设Sn表示数列an的前n项和（） 若an为等差数列，推导Sn的计算公式；（） 若a1=1，q0，且对所有正整数n，有Sn=判断an是否为等比数列，并证明你的结论20（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=（） 证明：平面A1BD平面CD1B1；（） 求三棱柱ABDA1B1D1的体积21（1

6、2分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050（） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6（） 在（）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率22（13分）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍（） 求动点M的轨迹C的

7、方程；（） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点若A是PB的中点，求直线m的斜率23（14分）已知函数f（x）=ex，xR（） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程；（） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=有唯一公共点（） 设ab，比较f（）与的大小，并说明理由2013年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1（5分）（2013陕西）设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则RM为（）A（，1）B（1，+）C（，1D1，+）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集

8、合M，然后直接利用补集概念求解【解答】解：由1x0，得x1，即M=（，1，又全集为R，所以RM=（1，+）故选B2（5分）（2013陕西）已知向量 =（1，m），=（m，2），若，则实数m等于（）ABC或D0【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算【解答】解：=（1，m），=（m，2），且，所以12=mm，解得m=或m=故选C3（5分）（2013陕西）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）Alogablogcb=logcaBlogablogca=logcbClogabc=logablogacDloga（b+c）=logab+logac【分析】通过对数的换底公式以及对

9、数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y0），判断选项即可【解答】解：对于A，logablogcb=logca，与换底公式矛盾，所以A不正确；对于B，logablogaa=logab，符合换底公式，所以正确；对于C，logabc=logablogac，不满足对数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y0），所以不正确；对于D，loga（b+c）=logab+logac，不满足loga（xy）=logax+logay（x、y0），所以不正确；故选B4（5分）（2013陕西）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A25B30C31D61【分析】分析程

10、序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值当x=60时，则y=25+0.6（6050）=31，故选：C5（5分）（2013陕西）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图根据标准，产品长度在区间20，25）上的为一等品，在区间15，20）和区间25，30）上的为二等品，在区间10，15）和30，35）上的为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A0.

11、09B0.20C0.25D0.45【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间15，20）和25，30）上的概率为0.045+1（0.02+0.04+0.06+0.03）5=0.45故选：D6（5分）（2013陕西）设z是复数，则下列命题中的假命题是（）A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20【分析】设出复数z，求出z2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可【解答】解：设z=a+bi，a，bR，z2=a2b2+2abi，对于A，z20，则b=0

12、，所以z是实数，真命题；对于B，z20，则a=0，且b0，z是虚数；所以B为真命题；对于C，z是虚数，则b0，所以z20是假命题对于D，z是纯虚数，则a=0，b0，所以z20是真命题；故选C7（5分）（2013陕西）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为（）A6B2C0D2【分析】先根据曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2xy的最大值即可【解答】解：画出可行域，如图所示解得A（2，2），设z=2xy，把z=2xy变形为y=2xz，则直线经过点A时z取得最小值；所以zmin=2（2）2=6，故选A8（5分）（2

13、013陕西）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A相切B相交C相离D不确定【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系【解答】解：M（a，b）在圆x2+y2=1外，a2+b21，圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=1=r，则直线与圆的位置关系是相交故选B9（5分）（2013陕西）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为 （）A直角三角形B锐

14、角三角形C钝角三角形D不确定【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状【解答】解：bcosC+ccosB=asinA，sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，sinA0，sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A10（5分）（2013陕西）设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（）Ax=xBx+=xC2x=2xDx+x+=2x【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案【解答】解：对A，设x=1.8，则x=1，x=2，所以A选项为假对B，设x=

15、1.8，则x+=2，x=1，所以B选项为假对C，x=1.4，则2x=2.8=3，2x=4，所以C选项为假故D选项为真故选D二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11（5分）（2013陕西）双曲线的离心率为【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：12（5分）（2013陕西）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的

16、半个球体表面积是底面积与半球面积的和，其表面积=故答案为：313（5分）（2013陕西）观察下列等式：（1+1）=21（2+1）（2+2）=2213（3+1）（3+2）（3+3）=23135照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）=2n135（2n1）【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）（n+n

17、），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n135（2n1）所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）=2n135（2n1）故答案为（n+1）（n+2）（n+3）（n+n）=2n135（2n1）14（5分）（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为20（m）【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=x+y且x0，y0，x40，y40，利用基本不等式即可求得答案【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：=，且x0，y0，x4

18、0，y40，40=x+y2，仅当x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值400m2故答案为：20选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）15（5分）（2013陕西）（不等式选做题） 设a，bR，|ab|2，则关于实数x的不等式|xa|+|xb|2的解集是R【分析】判断函数f（x）=|xa|+|xb|的值域为（|ab|，+），利用已知条件推出不等式的解集即可【解答】解：函数f（x）=|xa|+|xb|的值域为（|ab|，+），因此，当xR时，f（x）|ab|2，所以不等式|xa|+|xb|2的解集是R故答案为：R16（2013陕西）（几何证明选做题）

19、 如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P已知A=C，PD=2DA=2，则PE=【分析】利用已知条件判断EPDAPE，列出比例关系，即可求解PE的值【解答】解：因为BCPE，BCD=PED，且在圆中BCD=BADPED=BAD，EPDAPE，PD=2DA=2PE2=PAPD=32=6，PE=故答案为：17（2013陕西）（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是（1，0）【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可【解答】解：由方程（t为参数）得y2=4x，它表示焦点在x

20、轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0）故答案为：（1，0）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）18（12分）（2013陕西）已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x），xR，设函数f（x）=（） 求f（x）的最小正周期（） 求f（x）在0，上的最大值和最小值【分析】（）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期（） 通过x在0，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值【解答】解：（）函数f（x）=（cosx，）（sinx，co

21、s2x）=sinxcosx=sin（2x）最小正周期为：T=（）当x0，时，2x，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，sin（2x），f（x），1，所以函数f （x）在0，上的最大值和最小值分别为：1，19（12分）（2013陕西）设Sn表示数列an的前n项和（） 若an为等差数列，推导Sn的计算公式；（） 若a1=1，q0，且对所有正整数n，有Sn=判断an是否为等比数列，并证明你的结论【分析】（I）设等差数列的公差为d，则an=a1+（n1）d，可得a1+an=a2+an1=，利用“倒序相加”即可得出；（II）利用an+1=Sn+1Sn即可得出an+1，进而得到an，利用等比数列

22、的通项公式即可证明其为等比数列【解答】证明：（）设等差数列的公差为d，则an=a1+（n1）d，可得a1+an=a2+an1=，由Sn=a1+a2+an，Sn=an+an1+a1两等式相加可得2Sn=（a1+an）+（a2+an1）+（an+a1），（II）a1=1，q0，且对所有正整数n，有Sn=an+1=Sn+1Sn=qn，可得（nN*），数列an是以a1=1为首项，q1为公比的等比数列20（12分）（2013陕西）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=（） 证明：平面A1BD平面CD1B1；（） 求三棱柱ABDA1B1

23、D1的体积【分析】（）由四棱柱的性质可得四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等，可得 BD平面CB1D1同理可证，A1B平面CB1D1而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD平面CD1B1 （） 由题意可得A1O为三棱柱ABDA1B1D1的高，由勾股定理可得A1O= 的值，再根据三棱柱ABDA1B1D1的体积V=SABDA1O，运算求得结果【解答】解：（）四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1 和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平

24、行四边形，故有BD和B1D1平行且相等而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，BD平面CB1D1同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B平面CB1D1而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD平面CD1B1 （） 由题意可得A1O为三棱柱ABDA1B1D1的高三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O=1，三棱柱ABDA1B1D1的体积V=SABDA1O=A1O=1=121（12分）（2013陕西）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015

25、050（） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6（） 在（）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率【分析】（）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率

26、【解答】解：（）按相同的比例从不同的组中抽取人数从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993（）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=22（13分）（2013陕西）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍（） 求动点M的轨迹C的方程；（） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点若A是PB的中点，求直线m的斜率【分析】（）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；（）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合2x1=x2得到关于k的方程，则直线m的斜率可求【解答】解：（）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则|x4|=2，即（x4）2=4（x1）2+y2，整理得所以，动点M的轨