正弦定理(两课时)_第1页
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文档简介

1、引入,.C,.B,.A,引例: 为了测定河岸A点到对岸C点的距离,在岸边选定1千米长的基线AB,并测得ABC=120o,BAC=45o,如何求A、C两点的距离?,正弦定理,正弦定理:,在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.,即,利用三角形面积来证有:,除了书上的证法外,还可以,(2R为ABC外接圆直径),2R,例:求证:,证明:,作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,1.正弦定理可以写成:,2、公式变形:,其中,R为三角形外接圆的半径,剖析定理、加深理解,3.正弦定理可以解决三角形中哪类问题:,已知两角和一边,求其他角和边.,已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他

2、的边和角.,是否可以已知两边及其 一角,可求其它边和角?,4.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形,剖析定理、加深理解,定理的应用,例 1,在ABC 中,已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b .,解:,且,=,已知两角和任意边, 求其他两边和一角,=,a,例 2,已知a=16, b= , A=30 . 求角B,C和边c,已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角,解:由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,变式: a=30, b=26, A=30求角B,C

3、和边c,由于154.30 +3001800,故B只有一解 (如图),C=124.30,运用三角形内角和等于180排除其中一种情况,变式: a=30, b=26, A=30求角B,C和边c,所以,25.70,C=124.30,a b A B ,运用三角形中大边对大角排除一种情况,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,1.根据下列条件解三角形 (1)b=13,a=26,B=30.,B=90,C=60,c= ,(2) b=40,c=20,C=45.,练习,注意: 三角形中角的正弦值小于时,角可能有两解; 然后用大角对大边或三角形三边三角关系进行检验。,无解,课堂小结,(1)三角形常用公式:,(2)

4、正弦定理应用范围:,已知两角和任意边,求其他两边和一角(只有一解),已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。(注意多解的情况),正弦定理:,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?,课后思考,如已知两边a,b及a边的对角A 有下面情况:,A,C,a,b,absinA,无解,A,C,a,b,a=bsinA,一解,A,C,a,b,bsinA a b,两解,B,B1,B2,B,A,C,b,a,一解,a,锐角,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,ab,一解,钝角,基础巩固,基础巩固,例题展示,例2:,遇到含有边和角的关系式时,一般运用正

5、弦定理实现 边与角的转换,从而进行求解。,3,实际问题,4,实际问题,分析:要求,只要求,为此考虑解,解:过点作/交于,因为 20,所以160,于是,36016065135,又35 20 15,所以30 ,在中,由正弦定理,得,在RtABC中,,BC=ABsin35=,答:山的高度为811m.,例6、在三角形ABC中,已知 , 试判断三角形ABC的形状,解:令 ,由正弦定理,得,a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.,代入已知条件,得,即tanA=tanB=tanC,又,(,),所以, 从而三角形为正三角形,正弦定理的综合应用,解斜三角形的问题,通常都要根据题意,从实际问题中抽象 出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得出所要求的量, 从而得到实际问题的解。,在这个过程中,贯穿了数学

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