长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

1、长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417长沙理工大学模拟考试试卷试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011 专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一、判断题（正确答案填,错误答案填。每小题2分，共10分）1.设阶方阵可逆且满足，则必有 （ ）2.设是的解，则是的解 （ ）3.若矩阵的列向量组线性相关，则矩阵的行向量组不一定线性相关 （ ）4.设表示向量的长度，则 （ ）5.设是的解，则是的解 （ ）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.计算行列式 ；2.若为的解，则或必为 的解；3.

2、设n维向量组，当时，一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 4174.设三阶方阵有3个特征值2，1，-2，则的特征值为 ；三、计算题（每小题10分，共60分）1.； 第 1 页（共 2 页）2.若线性方程组有解，问常数应满足的条件？3.设是方程组的解向量，若也是的解，则 ；4.求齐次线性方程组的基础解系；5.已知矩阵与矩阵相似，求的值；6.设为正定二次型，求.四、证明题（10分）：设向量组线性无关，长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417证明线性无关。长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：1 一、判断题（正确答案填,

3、错误答案填。每小题2分，共10分）1， 2， 3， 4, 5, 二、填空题：(每小题5分，共20分)1，42；2，；3，相关，相关；4，4，1，4.三、计算题（每小题10分，共60分）1.=5 （5分）=55 （5分）2. （2分） （5分） 若有解，则A的秩与的秩相等，即。 （3分） 3.（6分） (1) 当时，矩阵的秩为2； （2分） (2) 当时，矩阵的秩为3. （2分） 第 1 页（共 3 页）4.对系数矩阵作作初等行变换得同解方程组 令 ，； 得 ，基础解系为：5.解：与相似， 特征多项式相同，即 亦即 6.解：的矩阵为 为正定二次型， 的各阶主子式大于0 即 0， 0 0第 2 页

4、（共 3 页）解联立不等式组 0 或 0 或 0 0 即当 0时，为正定二次型四、证明题（10分）：证明：设存在一组数使得，（3分）又向量组线性无关，因此，（7分）由此可知，只有当时，等式才成立，即向量组线性无关。（10分）第 3 页（共 3 页）长沙理工大学模拟考试试卷试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 课程名称（含档次）线性代数 课程代号 专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一、判断题：(正确填,错误填. 每小题分，共10分)1.是阶矩阵，则；（ ）2.若均为阶矩阵，则；（ ）3.向量组线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）4.若是齐次线性方程组的两个线

5、性无关解向量，则不是的解； （ ）5.设为阶矩阵，则与具有相同的特征向量。（ ）二、填空题：(每小题5分，共20分)1.若行列式，则 ；2. ；3.设向量组T：，若T线性相关，则秩T m；若T线性无关，则秩T m;4.如果三阶矩阵对应于特征值的特征向量为，令，则 。三、计算题：(每小题10分，共60分)第 1 页（共 2 页）1.； 2.计算 ；3.设,若线性方程组无解,则 ；4.求解非齐次线性方程组:；5.设3阶矩阵的特征值为对应的特征向量依次为求；6.用配方法化二次型为标准形，并求所用的可逆变换矩阵 四、证明题：(10分)设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵. 第 2 页（共 2 页

6、）长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：2 一、判断题（每小题2分，共10分）1，2，3，4，5，；二、填空题：(每小题5分，共20分)1，；2，；3，；4，三、计算题（每小题10分，共60分）1. （4分）；（10分）2. （2分） ,可逆 （5分） （8分） （10分） 3.解 （5分） （7分）第 1 页（共 3 页）通解为 4.（5分）当时， 向量组线性相关. （10分）5. 解 令，可逆 （4分） （6分） （10分）6.解：= （4分）令, 即 （6分）则原二次型化为标准形 （8分）可逆变换矩阵第 2 页（共 3 页） （10分）四、证明题：（10分）证明：因

7、为 （8分）所以也是对称矩阵。 （10分） 第 3 页（共 3 页）长沙理工大学模拟考试试卷 试卷编号 3 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一、判断题：(正确填,错误填. 每小题分，共10分) 1.若五阶方阵的行列式 的行列式 ，则 ；（ ） 2.设 为 阶方阵， 为 阶单位阵，则 ；（ ） 3.若向量 不能用向量 表示，则 线性无关；（ ） 4.任何一个齐次线性方程组都有解；（ ） 5.若 均为 阶正交矩阵，则 也必为正交矩阵。（ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分) 1.若 阶方阵 中

8、有一列向量是其余列向量的线性组合，则 ； 2.若有 阶可逆矩阵 ，则 可逆， 的逆矩阵为 ； 3.齐次线性方程组 的基础解系中的解向量一定线性 ； 4.设 则 由 表示是为 = 。 三、计算题：(每小题10分，共60分) 1. ； 2.设 ，求 ； 3.已知三阶方阵 且 的每一个列向量都是 的解，1）求 的值，2）求 ； 第 1 页（共 2 页） 4.求矩阵 的行向量组的一个最大无关组； 5.设三阶矩阵 的特征值为 ，对应的特征向量为 ，求 ； 6.写出二次型 的矩阵 ，并判断 是否为正定。 四、证明题：(10分) 若 线性无关，试证 也线性无关。 长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：3 一，判断题（每小题2分，共10分）1，2，3， 4，5，；二：填空题：(每小题5分，共20分)1，0；2，；3，无关；4，；三：计算题（每小题10分，共60分）1，（3分）；（10分）2，（3分）（3分）；（4分）3，（1）根据已知，可知方程组有非零解，则系数行列式；（6分）（2）因为已知齐次方程组有非零解，则解空间的维数，所以；（4分）4，（6分）因此第一列与第二列是一个最大无关组；（10分）5，根据已知存在矩阵，使得