一元二次方程的根与系数的关系

1、21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,一元二次方程的根与系数的关系,学习目标 1掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用 2培养分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力 教学重点、难点 重点：1.韦达定理的推导和灵活运用 2.已知方程求关于根的代数式的值 难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式,一、情景导入，初步认识,问题 请完成下列表格，并找出规律。,-1,3,2,-3,2,3,6,5,-1,1,-2,-1,1,二、思考探究，获取新知,运用你发现的规律填空：,4,-7,-3,-5,（1）已知方程x-4x-7=0的根为x1，x2，则 x1+x2= ，x1

2、.x2=,（2）已知方程x+3x-5=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ，x1.x2=,思 考 1,（1）如果方程x+mx+n=0的两根为x1，x2，你能说说x1+x2和x1.x2的值吗？,（2）如果方程ax+bx+c=0的两根为x1，x2，你知道x1+x2和x1.x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由。,韦达定理的证明：,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,归 纳 总 结,根与系数的关系（韦达定理）：,若一元二次方程ax+bx+c（a0）有两实数根x1，x2，则 .这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。,韦达（1540

3、年1603 ）法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。 由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。,如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2=,P,q,推论,思 考 2,在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式=b-4ac0呢？为什么？,用根与系数关系解题的前提条件是0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1，x2。,三、典例精析，掌握新知,例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积。,解：x1+x2=

4、-（-6）=6 x1x2=-15,（1）x-6x-15=0,（2）3x+7x-9=0,（3）5x-1=4x,解：x1+x2= x1x2=,解：方程化为4x-5x+1=0 x1+x2= x1x2=,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.,解法一：,设方程的另一个根为x2.,由根与系数的关系，得,2 x2 = k+1,2 x2 = 3k,解这方程组，得,x2 =3,k =2,答：方程的另一个根是3 , k的值是2.,例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。,解法二：,设方程的另一个根为x2.,把x=2代入方程

5、，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k= - 2,由根与系数的关系，得2 x23k,即2 x26, x2 3,答：方程的另一个根是3 , k的值是2.,例3 已知方程x-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值： （1）x1+x2； （2） 。,解：方程x-5x-7=0的两根为x1，x2 x1+x2=5，x1.x2=-7,（1） x1+x2=（x1+x2）-2x1.x2 =5-2（-7）=39,例4、 已知x1，x2是方程x-6x+k=0两个实数 根，且x1.x2-x1-x2=115 (1)求k的取值；（2）求x1+x2-8的值。,解（1）由题意有x1+x2=6，x1.x

6、2=k x1.x2-x1-x2=（x1.x2）-（x1+x2） =k-6=115 k=11或k=-11 又方程x-6x+k=0有实数解 =（-6）-4k0,k9 k=11不合题意舍去，故k的值为-11;,（2）由（1）知，x1+x2=6，x1.x2=-11， x1+x2-8=(x1+x2)-2x1x2-8 =36+22-8=50.,四、运用新知，深化理解,-1,1.若x1，x2是方程x+x-1=0的两个实数根，则x1+x2= ，x1+x2= ；,-1,2,-3,2.已知x=1是方程x+mx-3=0的一个根，则另一个根为 ，m= .,3.若方程x+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ，b= ；,1,-6,4.已知a，b是方程x-3x-1=0的两个根，求 的值.,解：由a+b=3，a.b=-1 故,今天我学会了.,1、韦达定理及其推论,2、利用韦达定理解决有关一元二次