金融数学课程论文

1、 一、二叉树模型中的参数估计1.1 二叉树参数估计算法原理想要预测股价二叉树，在知道初始值的前提下，还需要知道模型中的的u和d，但对于一支只知道对应于日期的股票价格，我们应该进行怎样的数据处理呢？下面通过实证数据对二叉树模型中的参数进行估计。原理：Hull-White算法令，并用如下公式计算u和d:我们假设：，这里是独立的伯努利随机变量，则我们可以得出和的合理估计值为：其中：和是来自实际市场数据的样本均值和样本方差，我们可以得出和的估计值为： 则： 1.2举例应用我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件1.由表可知，,，这个二叉树中所用的和与数据的相同，公式u和d可以简化成： 做

2、4期二叉树图为：这里的是一天，我们通过选择更大的时间间隔，令，即以一周为一个时间段，则有： 4期二叉树图变为：再令即以半个月为一个时间段，则有： 4期二叉树图又变为：由于该题的可以改变，时间间隔越长，股价“分叉”得更快。二、 几何布朗运动估计与模拟2.1几何布朗运动参数估计原理令代表某股票在时刻的价格，由以下公式给出S的模型。 其中，是常量，B服从布朗运动，而该方程的解就是几何布朗运动。即： 其中，是均值为0，方差为t的正态随机变量，由此得到的就是股价的几何布朗运动模型。我们将采用修正的股价模型对欧式看涨期权进行定价，在此之前，要对股价模型进行参数估计，即波动率和漂移率。假设我们得到了在一段较

3、长时间0, T内的股价数据记录，这段时间由n个长度相等的子区间组成，再假设我们知道每个子区间末的股价，将股价表示为： Si：第i个子区间末的股价样本观测值为n+1个；令表示均值，则： 样本方差用S2表示，则： 而U的观测值的均值为，方差为。即： 最后算的参数和为： 及而对于，则需要随机产生一系列标准正态分布，通过累加处理获得计算所需要的值。也可运用对数正态分布模型,即： 其中，是一个均值为0，方差为T的随机正态分布变量，的获取与相仿。2.2举例应用我选用中国农业银行2013年的股票价格，具体数据见附件2.计算股价，先随机生成均值为0，方差为n的正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下：

4、而后将预测值与实际值进行比较，得到：根据图可直观地看出，预测值的波动率比较大，整个曲线趋势很不平稳，因此需要进行修正；于是，再随机生成均值为0，方差为1的标准正态分布随机数，而后进行处理生成预测值，结果如下：而后将预测值与实际值进行比较，得到：由此可以看出，拟合程度还是很好的，可以用来预测未来几期的股票价格。预测未来两个月的股价，结果如下：三、B-S模型及多期二叉树的期权定价3.1.B-S期权定价公式：假设有一股票现价为，V是看涨期权的价格， 看涨期权V值可表示为：其中： 对于欧式看跌期权的价格P，可表示为：；3.2举例应用我选用了2013年11月16日的执行价，而后通过运用BS公式及多期二叉

5、树计算期权价格的方式，将实际值与两方法的预测值进行比较，而后进行分析，详细数据见附件3。计算结果数据：再将预测所得数据与实际值进行拟合比较，得到如下图：从该图主观地看出，三种期权的价格的趋势基本上一致，拟合程度也比较高，但对来说，BS的拟合程度更好一点。这样相对来说主观了一点，接着对数据进行再一次的处理分析：最后算的，多期二叉树的预测误差的方差为：0.162756979，而几何布朗运动的预测误差的方差为：0.15752995 ，由此也可以得出，几何布朗运动拟合程度更好一些。四、对冲4.1做题思路计算对冲，即计算值，而，对一只股票，在一年的时间里，假设我们每周进行一次对冲，那每周相应的对冲值又该

6、如何计算呢？在解这个题目时，最重要的计算出的值，在第一周时，为初始价，但到了第二周，有所变动，它的值为：，而对于，其值等于到期时间周数与总周期数的比值。对于,先产生随机数，而后再将它转换为正态分布随机数。4.2举例应用对于附件2里的数据，T=0.51506849,S0=55.56,X=50,sigma=0.20203053, miu=0.724348005，r=0.04, 假设卖出1000股股票，在这样的情况下，实现对冲为：课程小结：对于金融数学这门课程，一个多星期的计算机操作，让我惊叹。突然间才发现，这是一门综合性特别强的学科，才明白自己在某些知识点的掌握上拿捏得不是很好，所以做起来还是有一

7、定的挑战性的，可能在学习理论知识的时候，这样的缺陷不是暴露的特别明显。一开始决定编写C语言，是因为自己电脑上安装了这一软件，如果赶不上进度自己可以补一下，最后才发现自己这一举动是那么的正确，因为自己在C这方面学的不扎实，下课后，我还不得不窝在电脑前一次次修改程序，不过看到自己的程序可以完美实现的时候，真的真的特别开心，“废寝忘食”的程序员生活，稍稍体验了一把，才可以懂得他们为什么会有很大的情绪波动。在做这个课程设计的时候，最麻烦的是计算积分与产生正态分布随机变量，这个涉及到了数值计算方法和概率统计的知识，自然，C语言是基础，在计算积分的时候，我运用了复合梯形公式，但在n的取值上遇到了一点问题，

8、不能很好地把握它的取值。在后面进行分析比较时，我运用了统计预测与决策的相关知识。总的来说，这一个星期真的过的特别充实，懂得了时间的概念。但是时间比较紧张，我们要做的内容又比较多，做的还是不够精细。附 录源程序如下：欧式看涨期权：#include stdio.h#include stdlib.h#include math.h#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v; float aNN+1; printf(请输入初始价s0:n); scanf(%f,&s0); printf(请输入每期利率i:n); scanf(%f,

9、&i); printf(请输入增长因子u:n); scanf(%f,&u); printf(请输入下降因子d:n); scanf(%f,&d); printf(请输入执行价X:n); scanf(%f,&X); printf(请输入期数n:n); scanf(%d,&n); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf(股价二叉树为:n); for(k=0;k=n;k+) for(j=1;j=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anjX) anj=anj-X; else anj=0; pri

10、ntf(%f ,anj); printf(n); for(k=n-1;k=0;k-) for(j=k+1;j=1;j-) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); printf(%.6lf ,akj); printf(n); printf(欧式看涨期权定价为: ); printf(%f n,a01); 欧式看跌期权:#include stdio.h#include stdlib.h#include math.h#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t, w,v; float aNN+1; printf(请输入初始

11、价s0:n); scanf(%f,&s0); printf(请输入每期利率i:n); scanf(%f,&i); printf(请输入增长因子u:n); scanf(%f,&u); printf(请输入下降因子d:n); scanf(%f,&d); printf(请输入执行价X:n); scanf(%f,&X); printf(请输入期数n:n); scanf(%d,&n); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf(股价二叉树为:n); for(k=0;k=n;k+) for(j=1;j=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j

12、+1); akj=s0*w*v; if(anj=0;k-) for(j=k+1;j=1;j-) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); printf(%f ,akj); printf(n); printf(欧式看跌期权定价为: ); printf(%f n,a01); 欧式向上敲出障碍看跌期权：#include stdio.h#include stdlib.h#include math.h#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float aNN+1; printf(请输入初始价s0:n); s

13、canf(%f,&s0); printf(请输入每期利率i:n); scanf(%f,&i); printf(请输入增长因子u:n); scanf(%f,&u); printf(请输入下降因子d:n); scanf(%f,&d); printf(请输入执行价X:n); scanf(%f,&X); printf(请输入期数n:n); scanf(%d,&n); printf(请输入向上敲出障碍期权Q:n); scanf(%f,&Q); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf(股价二叉树为:n); for(k=0;k=n;k+) for(j=1;j=1;

14、j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anjX&anj=0;k-) for(j=k+1;j=1;j-) if(akjQ) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); else akj=0; printf(%f ,akj); printf(n); printf(欧式向上敲出障碍看跌期权定价为: ); printf(%f n,a01); 欧式向上敲出障碍看涨期权：#include stdio.h#include stdlib.h#include math.h#define N 200main() int n,k,j; float

15、 s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float aNN+1; printf(请输入初始价s0:n); scanf(%f,&s0); printf(请输入每期利率i:n); scanf(%f,&i); printf(请输入增长因子u:n); scanf(%f,&u); printf(请输入下降因子d:n); scanf(%f,&d); printf(请输入执行价X:n); scanf(%f,&X); printf(请输入期数n:n); scanf(%d,&n); printf(请输入向上敲出障碍期权Q:n); scanf(%f,&Q); r=exp(-i); q=(1/r-d)

16、/(u-d); p=1-q; printf(股价二叉树为:n); for(k=0;k=n;k+) for(j=1;j=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anjX&anj=0;k-) for(j=k+1;j=1;j-) if(akjQ) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); else akj=0; printf(%f ,akj); printf(n); printf(欧式向上敲出障碍看涨期权定价为: ); printf(%f n,a01); 欧式向下敲出障碍看跌期权：#include stdio.h#includ

17、e stdlib.h#include math.h#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float aNN+1; printf(请输入初始价s0:n); scanf(%f,&s0); printf(请输入每期利率i:n); scanf(%f,&i); printf(请输入增长因子u:n); scanf(%f,&u); printf(请输入下降因子d:n); scanf(%f,&d); printf(请输入执行价X:n); scanf(%f,&X); printf(请输入期数n:n); scanf(%d,&n

18、); printf(请输入向下敲出障碍期权Q:n); scanf(%f,&Q); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf(股价二叉树为:n); for(k=0;k=n;k+) for(j=1;j=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anjQ) anj=X-anj; else anj=0; printf(%f ,anj); printf(n); for(k=n-1;k=0;k-) for(j=k+1;j=1;j-) if(akjQ) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1);

19、else akj=0; printf(%f ,akj); printf(n); printf(欧式向下敲出障碍看跌期权定价为: ); printf(%f n,a01); 欧式向下敲出障碍看涨期权：#include stdio.h#include stdlib.h#include math.h#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float aNN+1; printf(请输入初始价s0:n); scanf(%f,&s0); printf(请输入每期利率i:n); scanf(%f,&i); printf(请输

20、入增长因子u:n); scanf(%f,&u); printf(请输入下降因子d:n); scanf(%f,&d); printf(请输入执行价X:n); scanf(%f,&X); printf(请输入期数n:n); scanf(%d,&n); printf(请输入向下敲出障碍期权Q:n); scanf(%f,&Q); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf(股价二叉树为:n); for(k=0;k=n;k+) for(j=1;j=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anjX&anj

21、Q) anj=anj-X; else anj=0; printf(%f ,anj); printf(n); for(k=n-1;k=0;k-) for(j=k+1;j=1;j-) if(akjQ) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); else akj=0; printf(%f ,akj); printf(n); printf(欧式向下敲出障碍看涨期权定价为: ); printf(%f n,a01); 美式看跌期权：#include stdio.h#include stdlib.h#include math.h#define N 100main() int n,k,j; flo

22、at s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,T; float aNN+1; printf(请输入初始价s0:n); scanf(%f,&s0); printf(请输入每期利率i:n); scanf(%f,&i); printf(请输入增长因子u:n); scanf(%f,&u); printf(请输入下降因子d:n); scanf(%f,&d); printf(请输入执行价X:n); scanf(%f,&X); printf(请输入期数n:n); scanf(%d,&n); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf(股价二叉树为:n); for

23、(k=0;k=n;k+) for(j=1;j=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anj=0;k-) for(j=k+1;j=1;j-) T=X-akj; akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); if(Takj) akj=akj; else akj=T; printf(%f ,akj); printf(n); printf(美式看跌期权定价为: ); printf(%f n,a01); 欧式看涨期权BS价格：#include#include#define d -1000#define pi 3.1415926dou

24、ble f(double x) return exp(-x*x/2);double N(double b,double a,int n) double h,s1,s,s2=0; int k; for(k=1;kn-1;k+) h=(b-a)/n;s1=a+k*h;s2=f(s1)+s2; s=1/sqrt(2*pi)*h/2*(f(a)+2*s2+f(b); return (s); main() double s0,X,t,p,r,d1,d2,v;int n; printf(请输入股票初始价格s0:n);scanf(%lf,&s0); printf(请输入执行价X:n);scanf(%lf,&X); printf(请输入以年为单位的到期时间t:n);scanf(%lf,&t); printf(请输入波动率p:n);scanf(%lf,&p); printf(请输入无风险利率r:n);scanf(%lf,&r); d1=(log(s0/X)+(r+p*p/2)*t)/(pow(t,0.5)*p); d2=d1-p*pow(t,0.5); printf(d1的值为:%lfn,d1); printf(d2的值为: