8导数的计算及其几何意义 - 中等 - 习题

1、导数的计算及其几何意义导数的计算及其几何意义 习题习题 一、选择题（共一、选择题（共 1616 小题；共小题；共 8080 分）分） 1. 下列导数公式错误的是 A.B. C.D. 2. 已知函数，则的含义是 A. 表示函数在区间的平均变化率 B. 表示函数在区间的平均变化率 C. 表示函数在点处的瞬时变化率 D. 表示函数在区间内任意一点的瞬时变化率 3. 质点按规律作直线运动，则质点在时瞬时速度是 A.B.C.D. 4. 设，若，则 A.B.C.D. 5. 设，若，则 A.B.C.D. 6. 函数在处的导函数等于 A.B.C.D. 7. 在求平均变化率的式子中，自变量的增量应满足条件 A.

2、B.C.D. 8. 如果曲线在点处的切线过点，则有 A.B. C.D.不存在 9. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是 A. B. C. 第 1页（共 8 页） D. 10. 若函数的图象的顶点在第四象限，则其导函数的图象可能是 A.B. C.D. 11. 如果质点按照规律运动，则在时的瞬时速度为 A. A. B. B. C. C. D. D. 12. 设函数，若在处的切线斜率为 13. 某质点的位移函数是，则当时，它的加速度是 A. A. C. B.C. B. D. D. 14. 若，则的解集为 15. 四人赛跑，他们跑过的路程与时间的函数解析式分别是：， ，如果他们一

3、直跑下去，表示最终获胜的人的函数解 析式是 A. C. ，若则 A. C. B. D. B. D. 16. 已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题；共小题；共 3030 分）分） 17. 一个物体的位移 （米）与时间 （秒）的关系为，则该物体在秒末的瞬时速 度是 18. 已知函数的导数为，且时，则这个函数的解析式为 19. 已知，则的值是 第 2页（共 8 页） 20. 在曲线的图象上取一点及其附近一点，则 21. 已知函数的导数为，若有，则 22. 同学们经过市场调查，得出了某种商品在年的价格（单位：元）与时间 （单位：月） 的函数关系为

4、，则月份该商品价格上涨的速度是元月 三、解答题（共三、解答题（共 4 4 小题；共小题；共 5252 分）分） 23. 甲、乙两人在时间到内路程与时间的变化关系如图所示，试根据图中的信息判断甲的平均 速度 甲 与 乙 的大小关系 24. 已知函数， （1）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方 程； （2）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式； （3）对（2）中的和任意的，证明： 25. 设， （1）求； （2）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且 26. 设函数，其中是的导函数 （1）令，求的表达式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）设，比较与的大小，并

5、加以证明 第 3页（共 8 页） 答案答案 第一部分第一部分 1. B 2. C 3. D 4. A 5. A 6. D 7. D 8. C 9. B 10. A 11. C 12. D 13. A【解析】由， 当时， 14. C【解析】定义域为， 即 ， 15. B 【解析】结合函数的图象知，这里的四个函数中，一次函数的增长速度最快 16. B【解析】因为时，得的对称轴为，由，得 ，当时，在上为增函数；当时， 在区间上为减函数；又因为，所以，即 ，所以 第二部分第二部分 17.米/秒 18. 【解析】由题意可设， 所以， 解得， 所以 19. 20. 第 4页（共 8 页） 【解析】 21.

6、 【解析】对两边求导，得由，得 ，从而 22. 【解析】因为， 所以 由导数的几何意义可知月份该商品的价格的上涨速度应为 因此月份该商品价格上涨的速度为元月 第三部分 23. 在区间， 甲 ， 乙 ，此时 甲乙； 在区间， 甲 ， 乙 ， 因为， 所以 甲乙， 所以此时 甲乙； 在区间， 甲 ， 乙 ， 因为， 所以 甲乙， 所以此时 甲乙 24. （1） 由题意得 由已知得 解得 所以两条直线交点的坐标为，切线的斜率为， 所以切线的方程为，即 （2） 由条件知 所以 第 5页（共 8 页） （i）当时，令，解得， 所以当时，在上递减； 当时，在上递增 所以是在上的唯一极值点，且是极小值点，从

7、而也是的最小值点 所以最小值 （ii）当时，在上递增，无最小值， 故的最小值的解析式为 （3） 由（2）知 对任意的，有 当且仅当时等号成立 当且仅当时等号成立 故由得 25. （1） 当时，则 可得 （2） 因为， 所以在内至少存在一个零点 又， 所以在内单调递增， 因此，在内有且仅有一个零点 由于， 第 6页（共 8 页） 所以， 由此可得，故， 所以 26. （1） 因为，可得 再结合，可知 ，所以 即，当且仅当时取等号， 所以，当时，当时， 因为，所以 整理得 即 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以 当时，符合上式 因此 （2） 在范围内恒成立，等价于成立， 令，即恒成立，则 令，即，得， 当，即时，在上单调递增，则 所以当时，在上恒成立； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以 设，则 因为，所以，即，所以函数在上单调递减，