超定方程用最小二乘法求解

1、根据解的存在情况，线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组， 解不存在的超定方程组， 有无穷多解的欠定方程组。 对于方程组Ax=b，A为nm矩阵，如果A列满秩，且nm。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数 据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=Ab）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解 不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行 householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但

2、速度较快；独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=Ab,三是用最小二乘法求解,x=lsqnonneg(A,b)(3)矩阵求逆 行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为： B=inv(A) 该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。 在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=AB来求解。因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯

3、消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。 (4)除法运算 在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB中，定义了矩阵的除法运算。矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。 矩阵左除： C=AB或C=mldivide(A,B) 矩阵右除； C=A/B或C=mrdivide(A,B) 通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，AB等效于A的逆阵左乘矩阵B。也就是inv(A)*B。如果A是一个

4、n*n矩阵，B是一个n维列向量，或是有若干这样的列的矩阵，则AB就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。如果A接近奇异的，MATLAB将会给出警告信息。 如果A是一个m*n矩阵，其中m不等于n，B是一个m维列向量，或是由若干这样的列的矩阵，则X=AB是不定或超定方程组AX=B的最小二乘解。通过QR分解确定矩阵A的秩k，方程组的解X每一列最多只有k个非零元素。如果kn，方程的解是不唯一的，用矩阵除法求得的最小二乘解是这种类型解中范数最小的。matlab中关于左除的定义： mldivide(A,B) and the equivalent AB perform matrix left divisi

5、on (back slash). A and B must be matrices that have the same number of rows, unless A is a scalar, in which case AB performs element-wise division that is, AB=A.B.If A is a square matrix, AB is roughly the same as inv(A)*B, except it is computed in a different way. If A is an n-by-n matrix and B is

6、a column vector with n elements, or a matrix with several such columns, then X = AB is the solution to the equation AX = B. A warning message is displayed if A is badly scaled or nearly singular.If A is an m-by-n matrix with m = n and B is a column vector with m components, or a matrix with several

7、such columns, then X = AB is the solution in the least squares sense to the under- or overdetermined system of equations AX = B. In other words, X minimizes norm(A*X - B), the length of the vector AX - B. The rank k of A is determined from the QR decomposition with column pivoting. The computed solution X has at most k nonzero elements per column. If k N, B-N*1;X=AB;B/A大体等效于B*inv(A) (B右乘A的逆阵)，但在计算方法上存在差异，更精确的，B/A=(ATBT)T。 输入：A=1 2 3;4 5 7;4 7 9;B=1 3 7;3 5 7;8 5 1;矩阵左除。输入：AB 显示：ans = -0.7500 -0.5000 -2.0000 5.7500 -3.50