安徽省阜阳市第三中学2020学年高二数学下学期开学考试试题（竞培中心）理（通用）

1、安徽省阜阳市第三中学安徽省阜阳市第三中学 20202020 学年高二竞培中心下学期学年高二竞培中心下学期 开学考试数学（理科）开学考试数学（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设集合， ，则 A B C D 2若复数满足，则 A B C D 3下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是 A B C D 4某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2020 年 1 月至 2020 年 12

2、 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是 A年接待游客量逐年增加 B各年的月接待游客量高峰期在 8 月 C2020 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 5.九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其 正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球 的体积为 A B C D 6已知的边上有一点满足，则可表示为 A B C D 7已知双曲线的中心为坐标原点，离心

3、率为，点在上，则的方程为 A B C D 8由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 后， 所得图象对应的函数解析式为 A B C D 9抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为 ABCD 10. 若实数，满足不等式组则的取值范围是 A B C D 11已知三棱锥中，且二面角 的大小为，则三棱锥外接球的表面积为 ABCD 12已知数列满足设，为数列的前项和若（常数），则的最小值是 ABCD 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13已知，则 14设为第二象限角，若，则=

4、 15已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为 16已知函数满足，则的单调递减区间是 三、三、解答题：共解答题：共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 设为数列的前项和，已知， （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式，并判断， ，是否成等差数列？ 18 （本小题满分 12 分） 在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成绩统计如图所示. （1）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表） ； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考

5、生的平均成绩和考生成绩 的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？ （3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考 生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求.（精确到） 附：， ；，则， ；. 19 （本小题满分 12 分） 如图甲，设正方形的边长为 3，点、分别在、上，且满足，如图乙，将直角梯形 沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上（1）证明：平面；（2）求平面与平面 所成二面角的余弦值 20.（本小题满分 12 分） 已知动圆过定点，且与定直线相切 （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点

6、，试探究在轴上是否存在定点 （异于点） ，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 e. （1）若 e，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求的最大值 22.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 （1）当时，解不等式； （2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围 安徽省阜阳市第三中学安徽省阜阳市第三中学 20202020 学年高二竞培中心下学期开学考试试题数学（理科）参考答案学年高二竞培中心下学期开学考试试题数学（理科）参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共

7、 6060 分分 题号 123456789101112 答案 DCBCAD BAAADC 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13 14 15 16 三、三、解答题：共解答题：共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1717 解：解：（1）证明：， ，, 1 分 ， 2 分 ， 3 分 ， 5 分 是首项为，公比为的等比数列 6 分 （2）解：由（1）知， ， 7 分 ， 8 分 ， 9 分 ， 10 分 . 11 分 即， ，成等差数列 12 分 1818解：解：

8、 解：（1）由题意知： 中间值 概率 ， 名考生的竞赛平均成绩为分. （2）依题意服从正态分布，其中， ， ， 服从正态分布， 而， . 竞赛成绩超过分的人数估计为人人. （3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率. 而， . 12 分 1919 解：解：（1）在图甲中，易知，从而在图乙中有， 平面，平面， 平面 4 分 （2） 如图，在图乙中作,垂足为, 连接,由于平面，则, 平面,则，图甲中有， 又，则、三点共线 设的中点为,则,可证， ，则， 又由，得， 于是,， 在中,， 8 分 作交于点，则 以点为原点,分别以、所在直线为、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系， 则, , , ， 则, ,是

9、平面的一个法向量， 易求得平面的一个法向量, 10 分 设平面与平面所成二面角为，可以看出，为锐角， 所以，平面与平面所成二面角的余弦值为 12 分 12 分 2020 （1）解法解法 1 1：依题意动圆圆心到定点的距离，与到定直线的距离相等，1 分 由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 2 分 其中动圆圆心的轨迹的方程为 3 分 解法解法 2 2：设动圆圆心，依题意：. 2 分 化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程 3 分 （2）解：解：假设存在点满足题设条件 由可知，直线与的斜率互为相反数，即 4 分 直线的斜率必存在且不为，设, 5 分 由得 6 分 由,得或 7 分 设，则 8 分 由式得, ,即 消去，得, 9 分 , 10 分 , 11 分 O G F E D C B A 存在点使得 12 分 2121 （1）解：解：当时， ，的定义域是 1 分 ， 2 分 当时， ；当时， 3 分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 4 分 （2）由（1）得的定义域是， ， 令，则，在上单调递增，5 分 因为, 所以， ， 故存在，使得 6 分 当时， ， ，单调递减； 当时， ， ，单调递增； 故时，取得最小值，即, 8 分 由得， 9 分 令， ，则， 当时， ，单调递增， 10 分 当时， ，单调递减，11 分 故，即时，取最大值 1，故 12