天津市和平区2020届高三数学下学期第二次质量调查试题 理（含解析）（通用）

1、天津市和平区2020学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学（理）学科试卷第卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 . 柱体的体积公式. 锥体的体积公式. 其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,表示柱体的高. 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，集合,

2、,则A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案.【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.已知满足约束条件则的最小值为A. 2B. 4C.D. 【答案】C【解析】【分析】首先绘制出可行域，注意到目标函数取最小值时直线系方程在y轴的截距有最大值，据此结合直线方程确定目标函数取得最小值时点的坐标，然后代入目标函数确定其最小值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最小值时，其几何意义

3、表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最小值为：.故选：C.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出 A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.【详解】由流程图可知，程序输出的值为：，即.故选：B.【点睛

4、】本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.下列结论错误的是A. 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题：“，”的否定是“，”D. 若“”为假命题，则均为假命题【答案】B【解析】【分析】由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若“”，当时不

5、满足“”，即充分性不成立，反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，综上可得，“”是“”的必要不充分条件C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，D. 由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题.即结论错误的为B选项.故选：B.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：一个命题的否定与原命题肯定一真一假;原命题与其逆否命题同真假.5.的图象向右平移个单位，所得到的图象关于轴对称，则的值为A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数平移之后的函数解析式，所得到的图象关于轴对称，则时函数取得最大值或最小值，据此确定的值即

6、可.【详解】的图象向右平移个单位后的解析式为：，图象关于轴对称，则当时函数取得最大值或最小值，即：，故，令可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，设则的大小关系是A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间上的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小即可.【详解】注意到，且，据此可得：，函数为偶函数，则：，由偶函数的性质可知：函数在区间上单调递减，故，即.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数

7、比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】首先联立双曲线的渐近线方程和直线确定点P的坐标，然后求解的面积得到a,b的关系，最后由抛物线方程确定其准线方程即可.【详解】不妨取双曲线的渐近线方程为，与直线联立可得：，即,由题意可得，抛物线方程为，其准线方程为.故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，A.B.C.D. 【答案】B

8、【解析】【分析】由题意结合平面向量的定义可得，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当取得最小值时点P的坐标，然后求解的值即可.【详解】，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则，所以当x=2，y=1时取最小值，此时.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。2. 本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. 9.如果（表示虚

9、数单位），那么_.【答案】1【解析】【分析】首先化简，然后由复数相等的充分必要条件可得m的值.【详解】由于，结合题意可得：，由复数相等的充分必要条件可得：.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.若直线与曲线 (为参数)交于两点，则_.【答案】【解析】【分析】首先将参数方程化简为直角坐标方程，然后求得圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求解弦长即可.【详解】曲线为参数)消去参数可得：，表示圆心为，半径为的圆，圆心到直线距离：，由弦长公式可得弦长为：.故答案为：【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，圆的弦长

10、公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_种.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，故选派的方法为：.故答案为：【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置

11、)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)12.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线长为的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为_.【答案】【解析】【分析】题意可得题中的四棱柱是一个正四棱柱，利用正四棱柱外接球半径的特征求得正四棱柱的高度，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得题中的四棱柱是一个长方体，且正四棱柱的底面边长为，设高为，由题意可得：，该四棱柱的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查正四棱柱外接球的性质，正四棱柱的表面积的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为

12、_.【答案】【解析】【分析】首先利用绝对值三角不等式确定的最大值，然后由恒成立的条件确定实数的取值范围即可确定实数的最大值.【详解】由绝对值三角不等式可得：，即，解得，综上可知：实数的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值的方法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数且函数在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将原问题转化为两个函数有且仅有两个不同的交点的问题，则实数的值等价于直线的斜率，结合函数的图像研究临界情况即可确定实数取值范围.【详解】函数在内有且仅有两个不同的零点，即函数与函数在内有

13、且仅有两个不同的交点，表示过点，斜率为的直线，绘制函数的图像如图所示，考查临界情况：首先考查经过点且与相切的直线方程的斜率：由可得，故切点坐标为，切线的斜率，切线方程为：,切线过点，故，解得：，故切线的斜率，由可得，由可得，结合图形可得实数取值范围是.【点睛】本题主要考查已知函数零点求参数取值范围的方法，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知函数()求在上的单调递增区间；()在中，分别是角的对边，为锐角，若， 且的面积为，求的最小值.【答案】()；().【

14、解析】【分析】()首先化简三角函数式，由化简的三角函数式得到函数的单调增区间，然后与进行交集运算可得函数的单调增区间；()首先化简求得A的大小，然后利用面积公式确定的值，最后由基本不等式可得的最小值.【详解】()，由可得：.设，则，故在上的单调递增区间为.()由可得：，化简可得：，又，解得：.由题意可得：，解得：.，当且仅当时等号成立.故的最小值为.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，基本不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内，他们检索到的图书册

15、数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.() 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；() 从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀，利用排列组合公式和对立事件公式求解概率值即可；(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算相应的概率值可得的分布列，然后由期望公式计算数学期望即可.【详解】(1)由茎叶图知高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀。记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件A.则(2

16、)X的所有可能取值为0，1，2，3.，故随机变量X的分布列为0123X的数学期望.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，离散型随机变量分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直，,点在线段上.() 若点为的中点，求证：平面； () 求证：平面平面；() 当平面与平面所成二面角的余弦值为时，求的长.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量结论可证得BM平面ADEF的法向量，从而可证得线面平行；(2)分别求得平面，平面的法向量，由法向量的数量积为0可证得面面垂直；(

17、3)设，由题意可得点M的坐标，分别求得两个半平面的法向量，由二面角的余弦值得到关于的方程，解方程求得的值即可确定的长.【详解】(1)正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD为交线，ED平面ABCD，由已知得DA，DE，DC两两垂直，如图建系D-xyz，可得D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1).由M为C的中点，知，故.易知平面ADEF的法向量为，BM平面ADEF，BM/平面ADEF.(2)由(1)知，设平面BDE的法向量为，平面BEC的法向量为，由得，由得，故平面BDE平面BEC.(3)设，设，计算可得，则，设平面

18、BDM的法向量为，由得，易知平面ABF的法向量为，由已知得，解得，此时，则，即AM的长为.【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行的方法，利用空间向量证明面面垂直的方法，立体几何中探索问题的解决方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为已知（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率【答案】（1）；（2）直线的斜率为或【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点的坐标为，由已知，可得，结合，可得，从而可求得椭圆的离心率；（2）在（1）的基础上，可先利用及数量积的坐标

19、运算求出点的坐标，再求出以线段为直径的圆的方程（圆心坐标和半径），最后设经过原点的与该圆相切的直线的方程为，由圆心到切线的距离等于半径，列方程，解方程即可得求得直线的斜率（1）设椭圆的右焦点的坐标为由，可得，又，则，椭圆的离心率（2）由（1）知，故椭圆方程为设由，有，由已知，有，即又，故有又点在椭圆上，故由和可得而点不是椭圆的顶点，故，代入得，即点的坐标为设圆的圆心为，则，进而圆的半径设直线的斜率为，依题意，直线的方程为由与圆相切，可得，即，整理得，解得直线的斜率为或考点：1椭圆标准方程和几何性质；2直线和圆的方程；3直线和圆的位置关系【此处有视频，请去附件查看】19.已知单调等比数列中，首项

20、为，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件() 求数列、的通项公式；() 设,记数列的前项和.求;求正整数，使得对任意，均有.【答案】()；()见解析；见解析.【解析】【分析】()由题意首先求得数列的公比，据此即可确定数列的通项公式，进一步利用递推关系可得数列的通项公式；().结合()中求得的通项公式分组求和即可确定的值；.利用作差法结合指数函数和一次函数增长速度的关系可得k的值.【详解】()设. 由已知得 即 进而有. 所以，即 ，则，由已知数列是单调等比数列，且所以取，数列的通项公式为.， 则.数列的通项公式为. ()由()得 设，的前项和为.则.又设，的前项和为.则.所以 令.由于比变化快，所以令得.即递增，而递减.所以，最大.即当时，.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和的方法，数列中最大项的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知函数，当时，取得极小