函数的基本性质练习题

1、函数的基本性质练习题2一选择题（共14小题）1集合x|x0且x2用区间表示出来 （）A（0，2）B（0，+）C（0，2）（2，+）D（2，+）2设集合A=x|4x3，B=x|x2，则AB=（）A（4，3）B（4，2C（，2D（，3）3若函数f（x）=x2+a|x|+2，xR在区间3，+）和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是（）A，3B6，4C3，2D4，34函数f（x）=的单调增区间是（）A（，1）B（1，+）C（，1），（1，+）D（，1），（1，+）5下列函数中，在区间（0，1）上是递增函数的是（）Ay=|x+1|By=3xCy=Dy=x2+46函数f（x）=|x|和g（x）=x（2

2、x）的递增区间依次是（）A（，0，（，1B（，0，1，+）C0，+），（，1D0，+），1，+）7下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2（0，+），都有0”的是（）Af（x）=lnxBf（x）=（x1）2Cf（x）=Df（x）=x38在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）Ay=By=x+Cy=x|x|Dy=9已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+）上单调递增，则以下结论正确的是（）A函数|f（x）|为偶函数，且在（，0）上单调递增B函数|f（x）|为奇函数，且在（，0）上单调递增C函数f（|x|）为奇函数，且在（0，+）上单调递增D函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+）上单调递增10下列

3、函数中，定义域是R且为增函数的是（）Ay=exBy=x3Cy=lnxDy=|x|11已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，2）B（，0）C（0，2）D（2，0）12设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），则=（）ABCD13已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D214函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x1）都是奇函数，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）是奇函数Cf（x）=f（x+2）Df（x

4、+3）是奇函数二填空题（共3小题）15（1）x|x2的区间形式为 （2）x|x5的区间形式为 （3）x|x0或x6区间形式为 16已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是 17已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=f（x），且函数y=f（x）是奇函数，给出以下四个命题：函数f（x）是周期函数；函数f（x）的图象关于点（，0）对称；函数f（x）是偶函数；函数f（x）在R上是单调函数在上述四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）三解答题（共23小题）18设f（x）=|xa|+a，x1，6，a（1，6）（）若a（1，2，求f（

5、x）的单调区间；（）求f（x）的最小值19已知函数，（） 证明f（x）在1，+）上是增函数；（） 求f（x）在1，4上的最大值及最小值20已知函数fx=x33x（1）求函数fx的单调区间；（2）求函数fx在区间3，2上的最值21设函数f（x）=x3+，x0，1，证明：（）f（x）1x+x2（）f（x）22设常数aR，函数f（x）=（ax）|x|（）若a=1，求f（x）的单调区间；（）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+mff（x）对所有的x2，2恒成立，求实数m的取值范围23已知函数f（x）=2 （1）求f（x）的定义域；（2）证明：函数f（x）在（0，+）上为减函数24设f（x）的定

6、义域为（0，+），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x1时，（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+）上是增函数；（3）解关于x的不等式25已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+）上是减函数26函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（）求函数g（x）的解析式；（）解不等式g（x）f（x）|x1|（）若h（x）=g（x）f（x）+1在1，1上是增函数，求实数的取值范围27二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3（1）求f（

7、x）的解析式；（2）若f（x）在区间2a，a+1上不单调，求a的取值范围28已知函数f（x）=x2+2ax+3，x4，6（1）当a=2时，求f（x）的最值（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间4，6上是单调函数（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间29已知函数f（x）的定义域为（0，+），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0，f（4）=1，（1）求证：f（1）=0；（2）求f（）；（3）解不等式f（x）+f（x3）130已知函数f（x）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x1

8、时f（x）0，f（2）=1（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+）上是增函数；（3）解不等式f（2x21）231定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+）上的递增函数（1）求f（1），f（1）的值；（2）求证：f（x）=f（x）；（3）解关于x的不等式：32已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）f（x）=2x（1）求f（x）；（2）求f（x）在区间1，1上的最大值和最小值33已知函数f（x）=x2+ax+b（a，bR），记M（a，b）是|f（x）|在区间1，1上的最大值（1）证明：当|a|2时，M（a，b）2；

9、（2）当a，b满足M（a，b）2时，求|a|+|b|的最大值34已知函数f（x）=x2+2ax+2，x5，5（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值和最小值（2）函数y=f（x）在区间5，5上是单调函数，求实数a的范围35已知函数f（x）=x2+2ax+2，x5，5，（1）当a=1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间5，5上是单调减函数36已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间0，2上有表达式f（x）=x（x2）（1）求f（1），f（2.5）的值；（2）写出f（x）在3，3上的表达式，并讨论函数f（x）

10、在3，3上的单调性；（3）求出f（x）在3，3上的最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值37已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a0）满足条件：f（x1）=f（3x），且方程f（x）=2x有两等根（1）求f（x）的解析式（2）求f（x）在0，t上的最大值38函数f（x）=x24x4在闭区间t，t+1（tR）上的最小值记为g（t）（1）试写出g（t）的函数表达式（2）作出g（t）的图象并求出g（t）的最小值39已知f（x）=x2ax+4（1）若f（x）0在，4上恒成立，求a的取值范围；（2）若方程f（x）=3在，4上有两个解，求a的取值范围40函数f（x）=2x22ax+3在区

11、间1，1上最小值记为g（a）（1）求g（a）的函数表达式；（2）求g（a）的最大值函数的基本性质练习题2参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1（2014秋内蒙古校级月考）集合x|x0且x2用区间表示出来 （）A（0，2）B（0，+）C（0，2）（2，+）D（2，+）【分析】给出的集合是大于0且不等于2的所有实数构成的，只要写出两个开区间的并集即可【解答】解：集合x|x0且x2用区间表示为：（0，2）（2，+）故选C【点评】本题考查了区间与无穷的概念，考查了集合与区间的等价转换，是基础题2（2005秋扬州期末）设集合A=x|4x3，B=x|x2，则AB=（）A（4，3）B（4，2C（，2D（

12、，3）【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合AB，由此利用A=x|4x3，B=x|x2，能求出AB【解答】解：集合A=x|4x3，B=x|x2，AB=x|4x2，故选B【点评】本题考查交集及其去运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化3（2016安庆三模）若函数f（x）=x2+a|x|+2，xR在区间3，+）和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是（）A，3B6，4C3，2D4，3【分析】由函数f（x）为R上的偶函数知，只需考察f（x）在（0，+）上的单调性，在3，+）上为增函数，在1，2上为减函数，则只需函数y=x2+ax+2的对称轴，由此求得实数a的取值范围【

13、解答】解：f（x）=x2+a|x|+2，f（x）=（x）2+a|x|+2=x2+a|x|+2=f（x），f（x）为实数集上的偶函数，由f（x）=x2+a|x|+2在区间3，+）和2，1上均为增函数，知f（x）在3，+）上为增函数，在1，2上为减函数，函数y=x2+ax+2（x0）的对称轴，得a6，4故选：B【点评】本题考查函数单调性及其奇偶性的性质，考查函数单调区间的求法，是中档题4（2017春汇川区校级期中）函数f（x）=的单调增区间是（）A（，1）B（1，+）C（，1），（1，+）D（，1），（1，+）【分析】分离常数可以得到，从而根据反比例函数的单调性便可得出f（x）的单调增区间【解答】

14、解：；f（x）的图象是由y=的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到；而y=的单调增区间为（，0），（0，+）；f（x）的单调增区间是（，1），（1，+）故选C【点评】考查分离常数法的运用，增函数及增区间的定义，反比例函数的单调性，以及函数图象的平移变换5（2016春淇县校级月考）下列函数中，在区间（0，1）上是递增函数的是（）Ay=|x+1|By=3xCy=Dy=x2+4【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的单调性即可找出正确选项【解答】解：Ax（0，1）时，y=|x+1|=x+1，该函数在（0，1）上是递增函数，；所以该选项正确By=3x是一次函数，在（0，1）上

15、是递减函数，所以该选项错误；Cy=是反比例函数，在（0，1）上是递减函数，所以该选项错误；Dy=x2+4是二次函数，在（0，1）上是递减函数，所以该选项错误故选A【点评】考查含绝对值函数，一次函数，反比例函数，二次函数的单调性6（2003北京）函数f（x）=|x|和g（x）=x（2x）的递增区间依次是（）A（，0，（，1B（，0，1，+）C0，+），（，1D0，+），1，+）【分析】函数f（x）=|x|去绝对值符号，转化为一次函数求单调性，函数g（x）=x（2x）是二次函数，利用配方法求函数的单调区间，注意开口方向【解答】解：f（x）=|x|=，函数f（x）的递增区间是0，+），g（x）=x（

16、2x）=x2+2x=（x1）2+1，对称轴是x=1，a=10函数g（x）的单调递增区间为（，1故选C【点评】考查基本初等函数的单调性，解有关绝对值的问题，去绝对值是关键，解二次函数的问题，配方法首先，属基础题7（2015泸州模拟）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2（0，+），都有0”的是（）Af（x）=lnxBf（x）=（x1）2Cf（x）=Df（x）=x3【分析】由题意得，x1x2时，都有f（x1）f（x2），即有f（x）在（0，+）上是减函数，对选项一一加以判断它们的单调性，即可得到答案【解答】解：对任意x1，x2（0，+），都有0，即x1x2时，都有f（x1）f（x2），即有f（

17、x）在（0，+）上是减函数，对于A，y=lnx在（0，+）上是增函数，故A不满足；对于B，函数在（，1）上是减函数，（1，+）上是增函数，故B不满足；对于C，函数在（1，+），（，1）上均为减函数，则在（0，+）上是减函数，故C满足；对于D，函数在R上是增函数，故D不满足故选C【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意记住常见函数的单调性，是迅速解题的关键8（2017河南二模）在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）Ay=By=x+Cy=x|x|Dy=【分析】根据反比例函数在定义域上的单调性，减函数的定义，以及奇函数的定义，分段函数单调性的判断方法便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解

18、：A.在定义域内没有单调性，该选项错误；B.时，y=，x=1时，y=0；该函数在定义域内不是减函数，该选项错误；Cy=x|x|的定义域为R，且（x）|x|=x|x|=（x|x|）；该函数为奇函数；该函数在0，+），（，0）上都是减函数，且02=02；该函数在定义域R上为减函数，该选项正确；D.；0+101；该函数在定义域R上不是减函数，该选项错误故选：C【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性9（2016五华区校级模拟）已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+）上单调递增，则以下结论正确的是（）A函数|f（x）|为偶函数，且

19、在（，0）上单调递增B函数|f（x）|为奇函数，且在（，0）上单调递增C函数f（|x|）为奇函数，且在（0，+）上单调递增D函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+）上单调递增【分析】根据题意，通过举例说函数f（x）为奇函数，且在（0，+）上单调递增时，|f（x）|与f（|x|）的奇偶性与单调性问题【解答】解：函数f（x）为奇函数，且在（0，+）上单调递增，不妨令f（x）=x，则|f（x）|=|x|，f（|x|）=|x|；函数|f（x）|为偶函数，且在（，0）上单调递减，命题A、B错误；函数f（|x|）为偶函数，且在（0，+）上单调递增，命题C错误、D正确故选：D【点评】本题考查了函数的奇偶性与

20、单调性的应用问题，是基础题目10（2015梅州二模）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）Ay=exBy=x3Cy=lnxDy=|x|【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论【解答】解：对于选项A，y=ex为增函数，y=x为减函数，故y=ex为减函数，对于选项B，y=3x20，故y=x3为增函数，对于选项C，函数的定义域为x0，不为R，对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（0）上单调递减，在（0，）上单调递增，故选：B【点评】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数单调性的性质11（2015宣城二模）已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，

21、则实数a的取值范围是（）A（，2）B（，0）C（0，2）D（2，0）【分析】根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a2ax，即2xa在a，a+1上恒成立，所以只需满足2（a+1）a，解该不等式即得实数a的取值范围【解答】解：二次函数x24x+3的对称轴是x=2；该函数在（，0上单调递减；x24x+33；同样可知函数x22x+3在（0，+）上单调递减；x22x+33；f（x）在R上单调递减；由f（x+a）f（2ax）得到x+a2ax；即2xa；2xa在a，a+1上恒成立；2（a+1）a；a2；实数a的取值范围是（，2）故选：A【点评】考查二次函数的对称轴，

22、二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性12（2011大纲版）设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），则=（）ABCD【分析】由题意得 =f（ ）=f（），代入已知条件进行运算【解答】解：f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），=f（ ）=f（）=2 （1 ）=，故选：A【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值13（2016山东）已知函数f（x）的定义域为R当x0时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x）；当x时，f（x+）=f（x）则f（6）=（）A2B1C0D2【

23、分析】求得函数的周期为1，再利用当1x1时，f（x）=f（x），得到f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，得到f（1）=2，即可得出结论【解答】解：当x时，f（x+）=f（x），当x时，f（x+1）=f（x），即周期为1f（6）=f（1），当1x1时，f（x）=f（x），f（1）=f（1），当x0时，f（x）=x31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题14（2009全国卷）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x1）都是奇函数，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）是奇函数Cf（

24、x）=f（x+2）Df（x+3）是奇函数【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项【解答】解：f（x+1）与f（x1）都是奇函数，函数f（x）关于点（1，0）及点（1，0）对称，f（x）+f（2x）=0，f（x）+f（2x）=0，故有f（2x）=f（2x），函数f（x）是周期T=2（2）=4的周期函数f（x1+4）=f（x1+4），f（x+3）=f（x+3），f（x+3）是奇函数故选D【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法二填空题（共3小题）15（2014秋大兴区校级月考）（1）x|x2的区间形式为（2，+） （2）x|x5的区间形式为（，5（3

25、）x|x0或x6区间形式为（，0）（6，+）【分析】根据区间的定义，结合数集的表示法，写出各个集合的区间表示即可【解答】解：根据区间的定义和表示法，得；（1）x|x2的区间形式为（2，+）；（2）x|x5的区间形式为（，5；（3）x|x0或x6区间形式为（，0）（6，+）故答案为：（2，+）、（，5、（，0）（6，+）【点评】本题考查了数集的区间表示法，解题时应熟练地掌握实数集与区间的相互表示，是基础题16（2014新课标）已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是（1，3）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x1|）f（2

26、），即可得到结论【解答】解：偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，不等式f（x1）0等价为f（x1）f（2），即f（|x1|）f（2），|x1|2，解得1x3，故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x1|）f（2）是解决本题的关键17（2017惠州模拟）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=f（x），且函数y=f（x）是奇函数，给出以下四个命题：函数f（x）是周期函数；函数f（x）的图象关于点（，0）对称；函数f（x）是偶函数；函数f（x）在R上是单调函数在上述四个命题中，正确命题的序号是（写出所有正确命题的

27、序号）【分析】题目中条件：f（x+）=f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性【解答】解：对于：f（x+3）=f（x+）=f（x）函数f（x）是周期函数且其周期为3对对于：y=f（x）是奇函数其图象关于原点对称又函数f（x）的图象是由y=f（x）向左平移个单位长度得到函数f（x）的图象关于点（，0）对称，故对对于：由知，对于任意的xR，都有f（x）=f（x），用换x，可得：f（x）+f（x）=0f（x）=f（x）=f（x+）对于任意的xR都成立令t=+x，则f（t）=f（t），函数f（

28、x）是偶函数，对对于：偶函数的图象关于y轴对称，f（x）在R上不是单调函数，不对故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键是中档题三解答题（共23小题）18（2015浙江校级模拟）设f（x）=|xa|+a，x1，6，a（1，6）（）若a（1，2，求f（x）的单调区间；（）求f（x）的最小值【分析】（）运用绝对值的定义，将f（x）转化，讨论a（1，2，函数f（x）在1，a上，在a，6上的单调性即可得到；（）讨论当1a2时，当2a6时，函数

29、的单调性，即可得到最小值【解答】解：（）首先f（x）=，因为当1a2时，f（x）在1，a上是增函数，在a，6上也是增函数所以当1a2时，y=f（x）在1，6上是增函数； （）当1a2时，由（）知，f（x）min=f（1）=2a5，当2a6时，f（x）在1，2上是增函数，在2，a上是减函数，在a，6上是增函数 又f（1）=2a5，f（a）=a，且f（1）f（a）=a+50，解得4a6所以当2a4时，f（x）min=f（1）=2a5，当4a6时，f（x）min=f（a）=a综上可知，f（x）min=【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调区间和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数

30、的单调性的性质是解题的关键19（2016秋伊春区校级期中）已知函数，（） 证明f（x）在1，+）上是增函数；（） 求f（x）在1，4上的最大值及最小值【分析】（I）用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号（II）由（I）知f（x）在1，+）上是增函数，可知在1，4也是增函数，则当x=1时，取得最小值，当x=4时，取得最大值【解答】（I）证明：在1，+）上任取x1，x2，且x1x2（2分）（1分）=（1分）x1x2x1x20x11，+），x21，+）x1x210f（x1）f（x2）0即f（x1）f（x2）故f（x）在1，+）上是增函数（2分）（II）解：由（I）知：f（x）在

31、1，4上是增函数当x=1时，有最小值2；当x=4时，有最大值（2分）【点评】本题主要考查单调性证明和应用单调性求函数最值问题20（2016春通川区校级月考）已知函数fx=x33x（1）求函数fx的单调区间；（2）求函数fx在区间3，2上的最值【分析】（1）求出导数，令导数大于0，得增区间令导数小于0，得减区间；（2）求出函数的导数，求得极值和端点的函数值，比较即可得到最值【解答】解：（1）函数fx=x33x的导数为f（x）=3x23，令f（x）0，可得x1或x1，令f（x）0，可得1x1，即有f（x）的增区间为（1，+），（，1），减区间为（1，1）；（2）由f（x）=3x23=0，可得x=1

32、，由（1）可得f（1）为极大值，且为2，f（1）为极小值，且为2，又f（3）=27+9=18，f（2）=86=2，即有f（x）的最小值为18，最大值为2【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查解二次不等式的运算能力，属于基础题21（2016浙江）设函数f（x）=x3+，x0，1，证明：（）f（x）1x+x2（）f（x）【分析】（）根据题意，1x+x2x3=，利用放缩法得，即可证明结论成立；（）利用0x1时x3x，证明f（x），再利用配方法证明f（x），结合函数的最小值得出f（x），即证结论成立【解答】解：（）证明：因为f（x）=x3+，x0，1，且1x+x2x3=，所以，所

33、以1x+x2x3，即f（x）1x+x2；（）证明：因为0x1，所以x3x，所以f（x）=x3+x+=x+=+；由（）得，f（x）1x+x2=+，且f（）=+=，所以f（x）；综上，f（x）【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目22（2016衢州模拟）设常数aR，函数f（x）=（ax）|x|（）若a=1，求f（x）的单调区间；（）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+mff（x）对所有的x2，2恒成立，求实数m的取值范围【分析】（）a=1时，便可得出，从而可根据二次函数的单调性，即可分别求出x0和x0时f（x

34、）的单调区间，从而得出f（x）的单调区间；（）可由f（x）为奇函数得到a=0，从而得到f（x）=x|x|，进一步求得ff（x）=x3|x|，从而可由mx2+mff（x）得到对于任意x2，2恒成立，可由x2，2得出，这样便可得出实数m的取值范围【解答】解：（）当a=1时，；当x0时，f（x）在内是增函数，在内是减函数；当x0时，f（x）在（，0）内是减函数；综上可知，f（x）的单调增区间为，单调减区间为（，0），；（）f（x）是奇函数，f（1）=f（1）；即（a+1）1=（a1）1；解得a=0；f（x）=x|x|，ff（x）=x3|x|；mx2+mff（x）=x3|x|，即对所有的x2，2恒成立

35、；x2，2，x2+11，5；实数m的取值范围为【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数和分段函数单调性的判断，奇函数的定义，可由f（x）解析式求ff（x）的解析式，以及分离常数法的运用，要能够根据基本不等式判断函数的单调性23（2015芝罘区模拟）已知函数f（x）=2 （1）求f（x）的定义域；（2）证明：函数f（x）在（0，+）上为减函数【分析】（1）由分母x0，求出函数的定义域即可；（2）首先，任设两个变量，然后，作差比较，最后，得到结论【解答】解：（1）由分母x0，得函数f（x）的定义域是x|x0，（2）任设x1，x2（0，+），且x1x2，f（x1）f（x2）=2（2）

36、=，x1x2x2x10，f（x1）f（x2）0，函数f（x）=2在（0，+）上是减函数【点评】本题主要考查函数的定义域问题，单调性的定义，借助于函数单调性定义求解时，一定要注意所取的自变量的任意性，属于基础题24（2015春临沭县期中）设f（x）的定义域为（0，+），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x1时，（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+）上是增函数；（3）解关于x的不等式【分析】（1）利用赋值法，可令m=n=1可求得f（1）=0，再令，可求f（2）的值；（2）为定义法证明函数的单调性，注意步骤；（3）利用已证的单调性把不等式转化为不等式组求解【

37、解答】解：（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）令m=n=1，f（1）=2f（1）f（1）=0，又再令，得（2）令0x1x2，则当x1时，=f（x2）f（x1）f（x）在区间（0，+）上是增函数（3）f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1f（4）=2f（2）=2=原不等式可化为，又f（x）在区间（0，+）上是增函数x6【点评】本题为函数的性质及应用，涉及不等式的解法即转化的思想，属基础题25（2017湖南学业考试）已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+）上是减函数【分析

38、】（1）把点（2，3）代入函数解析式求出a的值；根据f（x）的解析式，求出它的定义域；（2）用单调性定义证明f（x）在（1，+）上是减函数即可【解答】解：（1）函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），2+=3，解得a=1；f（x）=2+，且x10，则x1，函数f（x）的定义域为x|x1；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（1，+）上是减函数如下；设1x1x2，则f（x1）f（x2）=（2+）（2+）=，1x1x2，x2x10，x110，x210，f（x1）f（x2），f（x）在（1，+）上是减函数【点评】本题考查了函数的单调性定义与证明问题，是基础题26（2005浙江）函数f（x）和g（x

39、）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（）求函数g（x）的解析式；（）解不等式g（x）f（x）|x1|（）若h（x）=g（x）f（x）+1在1，1上是增函数，求实数的取值范围【分析】（）在函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0），设关于原点的对称点为P（x，y），再由中点坐标公式，求得Q的坐标代入f（x）=x2+2x即可（）将f（x）与g（x）的解析式代入转化为2x2|x1|0，再通过分类讨论去掉绝对值，转化为一元二次不等式求解（）将f（x）与g（x）的解析式代入可得h（x）=（1+）x2+2（1）x+1，再用二次函数法研究其单调性【解答】解：（）设函数y=f（x）的图象上任意一

40、点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则即点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上y=x22x，即y=x2+2x，故g（x）=x2+2x（）由g（x）f（x）|x1|，可得2x2|x1|0当x1时，2x2x+10，此时不等式无解当x1时，2x2+x10，解得因此，原不等式的解集为（）h（x）=（1+）x2+2（1）x+1当=1时，h（x）=4x+1在1，1上是增函数，=1当1时，对称轴的方程为x=）当1时，解得1）当1时，解得10综上，0【点评】本题主要考查求对称区间上的解析式，解不等式及研究函数的单调性，属中档题27（2015鹿城区校级模拟）二次函数f（x）的最小值为1，且f

41、（0）=f（2）=3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间2a，a+1上不单调，求a的取值范围【分析】（1）由二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3，可求得其对称轴为x=1，可设f（x）=a（x1）2+1（a0），由f（0）=3，可求得a，从而可得f（x）的解析式；（2）由f（x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）可列关系式求得a的取值范围【解答】解：（1）f（x）为二次函数且f（0）=f（2），对称轴为x=1又f（x）最小值为1，可设f（x）=a（x1）2+1，（a0）f（0）=3，a=2，f（x）=2（x1）2+1，即f（x）=2x24x+3（2）由条件知f（

42、x）的对称轴x=1穿过区间（2a，a+1）2a1a+1，0a【点评】本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的图象与性质，考查待定系数法，属于中档题28（2015新郑市校级一模）已知函数f（x）=x2+2ax+3，x4，6（1）当a=2时，求f（x）的最值（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间4，6上是单调函数（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间【分析】（1）a=2时，表示出f（x），判断f（x）的单调性，由单调性即可求得最值；（2）根据二次函数的图象特征，使图象的对称轴在区间4，6的外边即可；（3）作出f（|x|）的图象，根据图象即可求得单调区间；【解答】解：（1）当a=2时，

43、f（x）=x24x+3=（x2）21，f（x）在4，2上递减，在2，6上递增，所以f（x）min=f（2）=1，又f（4）=35，f（6）=15，所以f（x）max=f（4）=35（2）f（x）图象的对称轴为x=a，开口向上，f（x）的减区间是（，a，增区间是a，+），要使f（x）在4，6上是单调函数，则有a6，或a4，解得a6，或a4，所以实数a的取值范围是4，+）（，6（3）当a=1时，f（x）=x2+2x+3，f（|x|）=x2+2|x|+3，作出f（|x|）的图象，如图所示：由图象得f（x）的减区间为4，0，增区间为0，6【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的单调性，解决

44、该类问题的关键是深刻理解“三个二次”间的关系，同时注意数形结合思想的运用29（2016南昌自主招生）已知函数f（x）的定义域为（0，+），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0，f（4）=1，（1）求证：f（1）=0；（2）求f（）；（3）解不等式f（x）+f（x3）1【分析】（1）根据对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；（2）令x=4，y=4，代入求得f（16），而f（1）=f（16）=f（）+f（16）=0，即可求得f（）的值；（3）根据当x1时，f（x）0，判断函数的单调性，把f（x）+

45、f（x3）1化为fx（x3）1=f（4），根据单调性，去掉对应法则f，解不等式【解答】解：（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（41）=f（4）+f（1）f（1）=0（2）f（16）=f（44）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（16）=f（）+f（16）=0，故f（）=2（3）设x1，x20且x1x2，于是f（）0，f（x1）=f（x2）=f（）+f（x2）f（x2）f（x）为x（0，+）上的增函数又f（x）+f（x3）=fx（x3）1=f（4），3x4原不等式的解集为x|3x4【点评】此题是个中档题题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的

46、单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域解决抽象函数的问题一般应用赋值法30（2015衡阳县校级一模）已知函数f（x）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x1时f（x）0，f（2）=1（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+）上是增函数；（3）解不等式f（2x21）2【分析】（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=1求出f（1）=0，令x1=x2=1，求出f（1）=0，再令x1=1，x2=x求出f（x）=f（x），则证出此函数为偶函数；（2）先任取x2x10，再代入所给的式子进行作

47、差变形，利用x2=和且0，判断符号并得出结论；（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f（|2x21|）f（4），再由（2）的结论知|2x21|4，故解此不等式即可【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=0，令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=0，令x1=1，x2=x代入上式，f（x）=f（1x）=f（1）+f（x）=f（x），f（x）是偶函数（2）设x2x10，则=x2x10，0，即f（x2）f（x1）0，f（x2）f（x1）f（x）在（0，+）上是增函数（3）f（2）=1，f（4）=f

48、（2）+f（2）=2，f（x）是偶函数，不等式f（2x21）2可化为f（|2x21|）f（4），又函数在（0，+）上是增函数，|2x21|4，且2x210，即42x214，且2x21解得：，且x，即不等式的解集为x|，且x【点评】本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x1和x2值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域31（2015重庆校级模拟）定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+）上的递增函数（1）求f（1），f（1）的值；（2）求证：f（x）=f（x）；（3）解关于x的不等式：【分析】（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1），令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1）（2）令y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论即可证得f（x）=f（x）（3）利用恒等式变为f（2x1）f（1），由（2）的结论知函数是一偶函